Resolva a equação
Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 139 Ex. 38
Enunciado
- Em $C$, fatorize ${z^4} – 16$ num produto de quatro fatores.
- Resolva a equação ${z^4} – 16 = 0$.
- Marque no plano complexo as imagens A, B, C e D das soluções e verifique que são vértices de um quadrado.
Resolução
- Ora,
$$\begin{array}{*{20}{l}}
{{z^4} – 16}& = &{{{\left( {{z^2}} \right)}^2} – {4^2}} \\
{}& = &{\left( {{z^2} + 4} \right)\left( {{z^2} – 4} \right)} \\
{}& = &{\left( {{z^2} + 4} \right)\left( {z + 2} \right)\left( {z – 2} \right)}
\end{array}$$ - Ora,
$$\begin{array}{*{20}{l}}
{{z^4} – 16 = 0}& \Leftrightarrow &{\left( {{z^2} + 4} \right)\left( {z + 2} \right)\left( {z – 2} \right) = 0} \\
{}& = &{\begin{array}{*{20}{l}}
{z = – 2i}& \vee &{z = 2i}& \vee &{z = – 2}& \vee &{z = 2}
\end{array}}
\end{array}$$
-
Os afixos das soluções da equação são vértices de um quadrado
