Quociente de dois números complexos

Consideremos dois números complexos $$\begin{array}{*{20}{c}}
{{z_A} = a + bi}&{\text{e}}&{{z_B} = c + di}
\end{array}$$ não nulos, aos quais correspondem os vetores $\overrightarrow {OA}  = \left( {a,b} \right)$ e $\overrightarrow {OB}  = \left( {c,d} \right)$, respetivamente.

Determinando o quociente desses números complexos, temos:
$$\begin{array}{*{20}{l}}
w& = &{\frac{{{z_A}}}{{{z_B}}}} \\
{}& = &{\frac{{a + bi}}{{c + di}} \times \frac{{c – di}}{{c – di}}} \\
{}& = &{\frac{{\left( {ac + bd} \right) + \left( {bc – ad} \right)i}}{{{c^2} + {d^2}}}} \\
{}& = &{\frac{{ac + bd}}{{{c^2} + {d^2}}} + \frac{{bc – ad}}{{{c^2} + {d^2}}}i}
\end{array}$$
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1. Se $w = \frac{{{z_A}}}{{{z_B}}}$ é um número real, então $\operatorname{Im} (w) = 0$, donde $$\begin{array}{*{20}{l}}
   {\frac{{bc – ad}}{{{c^2} + {d^2}}} = 0}& \Leftrightarrow &{bc – ad = 0} \\
   {}& \Leftrightarrow &{ad = bc}
   \end{array}$$
   Ou seja, os vetores $\overrightarrow {OA}  = \left( {a,b} \right)$ e $\overrightarrow {OB}  = \left( {c,d} \right)$ possuem coordenadas diretamente proporcionais, pelo que são colineares.
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2. Se $w = \frac{{{z_A}}}{{{z_B}}}$ é um número imaginário puro, então $\operatorname{Re} (w) = 0$, donde $$\begin{array}{*{20}{l}}
   {\frac{{ac + bd}}{{{c^2} + {d^2}}} = 0}& \Leftrightarrow &{ac + bd = 0} \\
   {}& \Leftrightarrow &{\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB}  = 0}
   \end{array}$$
   Ou seja, os vetores $\overrightarrow {OA}  = \left( {a,b} \right)$ e $\overrightarrow {OB}  = \left( {c,d} \right)$ são perpendiculares.
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