O número $A$

Comecemos por um número mais pequeno para vermos o que se passa. Consideremos, por exemplo, $B = {3^2} \times 2 = 18$.

Ora, $B$ não é um quadrado perfeito. O próximos quadrados perfeitos são: $25$, $36$, $49$, …

O número $25$ não é múltiplo de $B$, mas já $36$ é o menor múltiplo de $B$ que é superior a ele.

Multipliquemos o número $B$ por $2$, para vermos o que acontece:

$$2 \times B = 2 \times \left( {{3^2} \times 2} \right) = {3^2} \times {2^2} = \underbrace {{{\left( {3 \times 2} \right)}^2} = 36}_{{\text{quadrado perfeito}}}$$

Consideremos, agora, o número dado: $A = {3^2} \times 7 \times 11$.

Ora, o menor número inteiro pelo qual devemos multiplicar $A$ para obtermos um quadrado perfeito é $N = 7 \times 11 = 77$.

Com efeito, vem:

$$77 \times A = 7 \times 11 \times \left( {{3^2} \times 7 \times 11} \right) = {3^2} \times {7^2} \times {11^2} = \underbrace {{{\left( {3 \times 7 \times 11} \right)}^2}}_{{\text{quadrado perfeito}}}$$