Num certo pistão

Observe a figura ao lado.

Num certo pistão, peça usada em mecânica na transmissão de certos movimentos, a distância x, em metros, do centro do eixo à cabeça do pistão, conforme se assinala na figura, é dado pela fórmula \[x=\cos \theta +\sqrt{16+0,5\cos (2\theta )}\] em que $\theta $ é a amplitude do ângulo representado na figura.

Determine o valor exato de x, quando:

1. $\theta =30{}^\text{o}$;

2. $\theta =45{}^\text{o}$.

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1. Para $\theta =30{}^\text{o}$, vem: \[\begin{array}{*{35}{l}}
   x(30{}^\text{o}) & = & \cos 30{}^\text{o}+\sqrt{16+0,5\cos (2\times 30{}^\text{o})}  \\
   {} & = & \frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{16+0,5\times \frac{1}{2}}  \\
   {} & = & \frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{\frac{65}{4}}  \\
   {} & = & \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{65}}{2}  \\
   {} & = & \frac{\sqrt{3}+\sqrt{65}}{2}\,\,(m)  \\
   \end{array}\]
   ­
2. Para $\theta =45{}^\text{o}$, vem: \[\begin{array}{*{35}{l}}
   x(45{}^\text{o}) & = & \cos 45{}^\text{o}+\sqrt{16+0,5\cos (2\times 45{}^\text{o})}  \\
   {} & = & \frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{16+0,5\times 0}  \\
   {} & = & \frac{\sqrt{2}}{2}+4  \\
   {} & = & \frac{8+\sqrt{2}}{2}\,\,(m)  \\
   \end{array}\]