Escreva todos os subconjuntos

Binómio de Newton: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 176 Ex. 54

by AMMA · Published 27 de Novembro de 2011 · Updated 28 de Dezembro de 2021

Enunciado

Escreva todos os subconjuntos do conjunto $A=\left\{ d,e,f \right\}$.
(Não esqueça que o conjunto vazio e o conjunto A são subconjuntos de A.)

Transcreva e complete o quadro seguinte e compare-o com as 5 primeiras linhas do Triângulo de Pascal.

Número de subconjuntos de B com:
Subcomjuntos de B	0 elementos	1 elementos	2 elementos	3 elementos	4 elementos	Total
$\left\{ {} \right\}$	1	–	–	–	–	$1={{2}^{0}}$
$\left\{ a \right\}$	1	1	–	–	–	$2={{2}^{1}}$
$\left\{ a,b \right\}$				–	–	$4={{2}^{2}}$
$\left\{ a,b,c \right\}$					–	$…=…$
$\left\{ a,b,c,d \right\}$						$…=…$

Mostre que ${}^{n}{{C}_{0}}+{}^{n}{{C}_{1}}+{}^{n}{{C}_{2}}+…+{}^{n}{{C}_{n}}={{2}^{n}}$.

Resolução

Subconjuntos do conjunto $A=\left\{ d,e,f \right\}$, com:
– zero elementos: $\left\{ {} \right\}$

– um elemtento: $\left\{ d \right\}$, $\left\{ e \right\}$ e $\left\{ f \right\}$

– dois elementos: $\left\{ d,e \right\}$, $\left\{ d,f \right\}$ e $\left\{ e,f \right\}$

– três elementos: $\left\{ d,e,f \right\}$

Número de subconjuntos de B com:
Subcomjuntos de B	0 elementos	1 elementos	2 elementos	3 elementos	4 elementos	Total
$\left\{ {} \right\}$	1	–	–	–	–	$1={{2}^{0}}$
$\left\{ a \right\}$	1	1	–	–	–	$2={{2}^{1}}$
$\left\{ a,b \right\}$	1	2	1	–	–	$4={{2}^{2}}$
$\left\{ a,b,c \right\}$	1	3	3	1	–	$8={{2}^{3}}$
$\left\{ a,b,c,d \right\}$	1	4	6	4	1	$16={{2}^{4}}$

$$\begin{matrix}
{} & {} & {} & {} & 1 & {} & {} & {} & {} \\
{} & {} & {} & 1 & {} & 1 & {} & {} & {} \\
{} & {} & 1 & {} & 2 & {} & 1 & {} & {} \\
{} & 1 & {} & 3 & {} & 3 & {} & 1 & {} \\
1 & {} & 4 & {} & 6 & {} & 4 & {} & 1 \\
\end{matrix}$$

Por último:
$$\begin{array}{*{35}{l}}
{}^{n}{{C}_{0}}+{}^{n}{{C}_{1}}+{}^{n}{{C}_{2}}+…+{}^{n}{{C}_{n}} & = & \sum\limits_{k=0}^{n}{{}^{n}{{C}_{k}}\times {{1}^{n-k}}\times {{1}^{k}}} \\
{} & = & {{(1+1)}^{n}} \\
{} & = & {{2}^{n}} \\
\end{array}$$