Uma urna com 10 cartões
Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 175 Ex. 48
Numa urna colocaram-se 10 cartões indistinguíveis ao tato.
Cada cartão tem escrito um número, sendo cinco dos números positivos e os restantes negativos.
Tiram-se simultaneamente dois cartões, ao acaso. Há maior probabilidade do produto dos dois números extraídos ser positivo ou negativo?
A extração simultânea de dois cartões pode ser efetuada de $$NCP={}^{10}{{C}_{2}}=\frac{10\times 9\times 8!}{8!\times 2!}=45$$ maneiras diferentes.
Para que o produto dos números extraídos seja positivo, ambos têm de ser positivos ou ambos têm de ser negativos. Assim, o número de casos favoráveis a este acontecimento é $$NC{{F}_{+}}=\underbrace{{}^{5}{{C}_{2}}}_{\text{n}\text{. }\!\!{}^\text{o}\!\!\text{ }\!\!\grave{\ }\!\!\text{ de maneiras de extrair 2 n }\!\!\acute{\mathrm{u}}\!\!\text{ meros positivos}}+\underbrace{{}^{5}{{C}_{2}}}_{\text{n}\text{. }\!\!{}^\text{o}\!\!\text{ }\!\!\grave{\ }\!\!\text{ de maneiras de extrair 2 n }\!\!\acute{\mathrm{u}}\!\!\text{ meros negativos}}=2\times \frac{5\times 4\times 3!}{3!\times 2!}=20$$
Para que o produto dos números extraídos seja negativo, os números extraídos têm de ser de sinais contrários. Logo, o número de casos favoráveis a este acontecimento é $$NC{{F}_{-}}=\underbrace{{}^{5}{{C}_{1}}}_{\text{n}\text{. }\!\!{}^\text{o}\!\!\text{ }\!\!\grave{\ }\!\!\text{ de maneiras de extrair 1 n }\!\!\acute{\mathrm{u}}\!\!\text{ mero positivo}}\times \underbrace{{}^{5}{{C}_{1}}}_{\text{n}\text{. }\!\!{}^\text{o}\!\!\text{ }\!\!\grave{\ }\!\!\text{ de maneiras de extrair 1 n }\!\!\acute{\mathrm{u}}\!\!\text{ mero negativo}}=5\times 5=25$$
Como $NC{{F}_{-}}>NC{{F}_{+}}$, então é mais provável o produto dos números extraídos ser negativo.
$$p(+)=\frac{20}{45}=\frac{4}{9}$$ $$p(-)=\frac{25}{45}=\frac{5}{9}$$
