Um grupo de amigos
Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 174 Ex. 43
Enunciado
Um grupo de amigos, constituído por três rapazes e duas raparigas, vai ao cinema e ocupa cinco lugares consecutivos.
- De quantos modos distintos se podem sentar?
- E se cada uma das raparigas ficar num dos extremos?
- E se as raparigas não se sentarem nos extremos?
Resolução
- Os cinco amigos podem sentar-se nos cinco lugares de ${}^{5}{{A}_{5}}={{P}_{5}}=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$ modos diferentes.
- Se cada rapariga ficar num dos extremos, estas podem sentar-se de $2={{P}_{2}}$ maneiras diferentes e, para cada uma destas maneiras, os rapazes podem sentar-se de ${}^{3}{{A}_{3}}={{P}_{3}}=3\times 2\times 1=6$ maneiras diferentes.
Assim, nestas condições, os cinco amigos podem sentar-se de $N={{P}_{2}}\times {{P}_{3}}=2\times 6=12$ modos diferentes.
- Se as raparigas não se sentarem nos extremos, há três lugares disponíveis para se sentarem, os quais podem ser selecionados em grupos de dois de ${}^{3}{{C}_{2}}=3$ maneiras diferentes. Desta forma, as raparigas podem sentar-se de ${}^{3}{{C}_{2}}\times {{P}_{2}}={}^{3}{{A}_{2}}$ maneiras diferentes e, para cada uma destas maneiras, os 3 rapazes podem sentar-se nos restantes três lugares de ${{P}_{3}}=3\times 2\times 1=6$ maneiras diferentes.
Assim, nestas condições, os cinco amigos podem sentar-se de $N={}^{3}{{A}_{2}}\times {{P}_{3}}=3\times 2\times 6=36$ modos diferentes.
