A lei de probabilidade de uma variável aleatória
Distribuição de probabilidades: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 172 Ex. 33
A lei de probabilidade de uma variável aleatória $X$ é:
| ${{x}_{i}}$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| $P(X={{x}_{i}})$ | 0,1 | 0,2 | 0,1 | 0,3 | 0,1 | 0,2 |
- Calcule a esperança matemática e o desvio padrão de $X$.
- Uma variável aleatória $Y$ toma os valores 3, 4, 5 e 6.
a) Qual é a lei de probabilidade de $Y$, sabendo que:
$P(Y>5)=0,5$; $P(Y<5)=\frac{1}{3}$ e $P(Y=3)=P(Y=4)$.b) Qual é a esperança matemática e o desvio padrão de $Y$?
- A esperança matemática e o desvio padrão de $X$ são, respetivamente:
\[\mu =0,1\times 1+0,2\times 2+0,1\times 3+0,3\times 4+0,1\times 5+0,2\times 6=3,7\]
\[\sigma =\sqrt{0,1\times {{(1-3,7)}^{2}}+0,2\times {{(2-3,7)}^{2}}+…+0,1\times {{(5-3,7)}^{2}}+0,1\times {{(6-3,7)}^{2}}}=\sqrt{2,61}\approx 1,62\] - a)
Como $P(Y>5)=0,5$, então $P(Y=6)=\frac{1}{2}$.Se $P(Y<5)=\frac{1}{3}$, então $P(Y=3)+P(Y=4)=\frac{1}{3}$.
Dado que, ainda, $P(Y=3)=P(Y=4)$, resulta $P(Y=3)=P(Y=4)=\frac{1}{6}$.
Finalmente, $P(Y=5)=1-P(Y=3)-P(Y=4)-P(Y=6)=\frac{1}{6}$.
Logo, a distribuição de probabilidades da variável $Y$ é:
${{y}_{i}}$ 3 4 5 6 $P(Y={{y}_{i}})$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{2}$ b)
A esperança matemática e o desvio padrão da variável aleatória $Y$ são:
\[\mu =\frac{1}{6}\times 3+\frac{1}{6}\times 4+\frac{1}{6}\times 5+\frac{1}{2}\times 6=5\]
\[\sigma =\sqrt{\frac{1}{6}\times {{(3-5)}^{2}}+\frac{1}{6}\times {{(4-5)}^{2}}+\frac{1}{6}\times {{(5-5)}^{2}}+\frac{1}{2}\times {{(6-5)}^{2}}}=\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\approx 1,15\]
