Considere as funções

${{D}_{f}}=\left\{ x\in \mathbb{R}:{{x}^{2}}-4\ne 0 \right\}=\mathbb{R}\backslash \left\{ -2,2 \right\}$

$f(-x)=\frac{-3x}{{{(-x)}^{2}}-4}=-\frac{3x}{{{x}^{2}}-4}$

$f(x-2)=\frac{3(x-2)}{{{(x-2)}^{2}}-4}=\frac{3x-6}{{{x}^{2}}-4x}$

$-f(x)=-\frac{3x}{{{x}^{2}}-4}$

A função é ímpar, pois $f(-x)=-f(x),\forall x\in {{D}_{f}}$.
­

${{D}_{f}}=\left\{ x\in \mathbb{R}:x+2\ne 0 \right\}=\mathbb{R}\backslash \left\{ -2 \right\}$

$f(-x)=\frac{{{(-x)}^{2}}}{-x+2}=\frac{{{x}^{2}}}{-x+2}$

$f(x-2)=\frac{{{(x-2)}^{2}}}{x-2+2}=\frac{{{(x-2)}^{2}}}{x}$

$-f(x)=-\frac{{{x}^{2}}}{x+2}$

A função não é par nem é ímpar.
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${{D}_{f}}=\left\{ x\in \mathbb{R}:{{x}^{2}}-4\ge 0 \right\}=\left] -\infty ,-2 \right]\cup \left[ 2,+\infty  \right[$

$f(-x)=\sqrt{{{(-x)}^{2}}-4}=\sqrt{{{x}^{2}}-4}$

$f(x-2)=\sqrt{{{(x-2)}^{2}}-4}=\sqrt{{{x}^{2}}-4x}$

$-f(x)=-\sqrt{{{x}^{2}}-4}$

A função é par, pois $f(-x)=f(x),\forall x\in {{D}_{f}}$.
­

${{D}_{f}}=\mathbb{R}$

$f(-x)=\left| {{(-x)}^{2}}-4 \right|=\left| {{x}^{2}}-4 \right|$

$f(x-2)=\left| {{(x-2)}^{2}}-4 \right|=\left| {{x}^{2}}-4x \right|$

$-f(x)=-\left| {{x}^{2}}-4 \right|$

A função é par, pois $f(-x)=f(x),\forall x\in {{D}_{f}}$.
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${{D}_{f}}=\left\{ x\in \mathbb{R}:{{x}^{2}}\ne 0 \right\}=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$

$f(-x)=\frac{{{(-x)}^{2}}-4}{{{(-x)}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}-4}{{{x}^{2}}}$

$f(x-2)=\frac{{{(x-2)}^{2}}-4}{{{(x-2)}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}-4x}{{{(x-2)}^{2}}}$

$-f(x)=-\frac{{{x}^{2}}-4}{{{x}^{2}}}$

A função é par, pois $f(-x)=f(x),\forall x\in {{D}_{f}}$.
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${{D}_{f}}=\left\{ x\in \mathbb{R}:{{x}^{2}}-9\ne 0 \right\}=\mathbb{R}\backslash \left\{ -3,3 \right\}$

$f(-x)=\frac{{{(-x)}^{3}}}{{{(-x)}^{2}}-9}=\frac{-{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}-9}=-\frac{{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}-9}$

$f(x-2)=\frac{{{(x-2)}^{3}}}{{{(x-2)}^{2}}-9}$

$-f(x)=-\frac{{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}-9}$

A função é ímpar, pois $f(-x)=-f(x),\forall x\in {{D}_{f}}$.