A função polinomial definida por $f(x)={{x}^{4}}$ não é injetiva

Uma restrição g, injetiva, da função f pode ser, por exemplo: \[\begin{matrix}
g: & \mathbb{R}_{0}^{+}\to \mathbb{R}  \\
{} & x\to {{x}^{4}}  \\
\end{matrix}\]

Ora, ${{D}_{g}}=\mathbb{R}_{0}^{+}=D{{‘}_{{{g}^{-1}}}}$ e $D{{‘}_{g}}=\mathbb{R}_{0}^{+}={{D}_{{{g}^{-1}}}}$.

Por outro lado, $\begin{array}{*{35}{l}}
y={{x}^{4}} & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{l}}
x=-\sqrt[4]{y} & \vee  & x=+\sqrt[4]{y}  \\
\end{array}  \\
\end{array}$.

Dado que $D{{‘}_{g}}=\mathbb{R}_{0}^{+}={{D}_{{{g}^{-1}}}}$, então \[\begin{matrix}
{{g}^{-1}}: & \mathbb{R}_{0}^{+}\to \mathbb{R}_{0}^{+}  \\
{} & x\to \sqrt[4]{x}  \\
\end{matrix}\]

Nota:
Caso se tivesse escolhido como restrição injetiva a função \[\begin{matrix}
h: & \mathbb{R}_{0}^{-}\to \mathbb{R}  \\
{} & x\to {{x}^{4}}  \\
\end{matrix}\]

obter-se-ia \[\begin{matrix}
{{h}^{-1}}: & \mathbb{R}_{0}^{+}\to \mathbb{R}_{0}^{-}  \\
{} & x\to -\sqrt[4]{x}  \\
\end{matrix}\]