Um estudo sobre audiências televisivas
Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 193 Ex. 31
Um estudo sobre audiências televisivas concluiu que, durante os 90 minutos da transmissão do jogo França-Portugal, do Campeonato da Europa de Futebol, em 2000, a variação do número de telespectadores, no nosso país, foi modelada, aproximadamente, pela função definida por:
\[E(t)=-0,04t+10-\frac{49}{t+10}\]
Em que $E$ representa o número de telespectadores (em milhões) e $t$ o tempo (em minutos).
- Qual o número de pessoas que assistiu ao fim da transmissão?
- Calcule as taxas médias de variação do número de telespectadores durante os primeiros cinco minutos e entre os 10 e os 15 minutos de jogo e interprete, no contexto da situação descrita, os valores que encontrou.
- Indique, recorrendo à sua calculadora, o momento da transmissão que registou a audiência máxima. Quantas pessoas assistiam, nesse momento, à transmissão?
- Ora, $E(90)=-0,04\times 90+10-\frac{49}{90+10}=-3,6+10-0,49=5,91$.
Portanto, assistiram ao fim da transmissão 5,91 milhões de pessoas.
- Ora,
\[\begin{array}{*{35}{l}}
tm{{v}_{[0,5]}} & = & \frac{E(5)-E(0)}{5-0} \\
{} & = & \frac{\left( -0,04\times 5+10-\frac{49}{5+10} \right)-\left( 10-\frac{49}{10} \right)}{5} \\
{} & = & -0,04-\frac{49}{75}+\frac{49}{50} \\
{} & = & -\frac{6}{150}-\frac{98}{150}+\frac{147}{150} \\
{} & = & \frac{43}{150} \\
{} & \approx & 0,287 \\
\end{array}\]Nos primeiros cinco minutos de jogo, o número de telespectadores aumenta cerca de 287 mil por minuto.
\[\begin{array}{*{35}{l}}
tm{{v}_{[10,15]}} & = & \frac{E(15)-E(10)}{15-10} \\
{} & = & \frac{\left( -0,04\times 15+10-\frac{49}{15+10} \right)-\left( -0,04\times 10+10-\frac{49}{10+10} \right)}{5} \\
{} & = & -0,04-\frac{49}{125}+\frac{49}{100} \\
{} & = & -\frac{20}{500}-\frac{196}{500}+\frac{245}{150} \\
{} & = & \frac{29}{500} \\
{} & = & 0,058 \\
\end{array}\]Nos cinco minutos entre o 10.º e 15.º de jogo, o número de telespectadores aumenta cerca de 58 mil por minuto.
O número máximo de telespectadores foi de 7,6 milhões aos 25 minutos de jogo.
