O comprimento de uma circunferência
Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 193 Ex. 32
Enunciado
O perímetro $P$ de um círculo de raio $r$ é dado pela expressão $P=2\pi r$.
- Calcule a taxa média de variação de $P$ em cada um dos intervalos: $\left[ 2,9 \right]$, $\left[ 2;2,5 \right]$, $\left[ 2;2,1 \right]$, $\left[ 2;2,001 \right]$ e $\left[ 2,2+h \right]$.
- Qual é o valor da taxa de variação do perímetro para $r=2$?
Resolução
- Ora,
\[tm{{v}_{\left[ 2,9 \right]}}=\frac{2\pi \times 9-2\pi \times 2}{9-2}=\frac{7\times 2\pi }{7}=2\pi \]\[tm{{v}_{\left[ 2;2,25 \right]}}=\frac{2\pi \times 2,25-2\pi \times 2}{2,25-2}=\frac{0,25\times 2\pi }{0,25}=2\pi \]\[tm{{v}_{\left[ 2;2,1 \right]}}=\frac{2\pi \times 2,1-2\pi \times 2}{2,1-2}=\frac{0,1\times 2\pi }{0,1}=2\pi \]
\[tm{{v}_{\left[ 2;2,001 \right]}}=\frac{2\pi \times 2,001-2\pi \times 2}{2,001-2}=\frac{0,001\times 2\pi }{0,001}=2\pi \]
\[tm{{v}_{\left[ 2;2+h \right]}}=\frac{2\pi \times (2+h)-2\pi \times 2}{2+h-2}=\frac{h\times 2\pi }{h}=2\pi \]
- O valor da taxa de variação do perímetro para $r=2$ é $P'(2)=2\pi $.
