Mais taxa média de variação
Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 192 Ex. 30
Enunciado
Seja $f$ uma função polinomial e $h$ um número real positivo.
Calcule a taxa média de variação de $f$ no intervalo $\left[ x,x+h \right]$, nos casos seguintes:
- $f(x)=-3{{x}^{2}}+7x-5$
- $f(x)={{x}^{3}}-3x+1$
- $f$ é uma função afim
- $f$ é uma função constante.
Resolução
- Considerando $f(x)=-3{{x}^{2}}+7x-5$, vem:
\[\begin{array}{*{35}{l}}
t.m.{{v}_{\left[ x,x+h \right]}} & = & \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x} \\
{} & = & \frac{[-3{{(x+h)}^{2}}+7(x+h)-5]-(-3{{x}^{2}}+7x-5)}{h} \\
{} & = & \frac{-3{{x}^{2}}-6hx-3{{h}^{2}}+7x+7h-5+3{{x}^{2}}-7x+5}{h} \\
{} & = & \frac{-6hx-3{{h}^{2}}+7h}{h} \\
{} & = & -6x-3h+7 \\
\end{array}\] - Considerando $f(x)={{x}^{3}}-3x+1$, vem:
\[\begin{array}{*{35}{l}}
t.m.{{v}_{\left[ x,x+h \right]}} & = & \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x} \\
{} & = & \frac{[{{(x+h)}^{3}}-3(x+h)+1]-({{x}^{3}}-3x+1)}{h} \\
{} & = & \frac{({{x}^{2}}+2hx+{{h}^{2}})(x+h)-3x-3h+1-{{x}^{3}}+3x-1}{h} \\
{} & = & \frac{{{x}^{3}}+h{{x}^{2}}+2h{{x}^{2}}+2{{h}^{2}}x+{{h}^{2}}x+{{h}^{3}}-3h-{{x}^{3}}}{h} \\
{} & = & \frac{3h{{x}^{2}}+3{{h}^{2}}x+{{h}^{3}}-3h}{h} \\
{} & = & 3{{x}^{2}}+3hx+{{h}^{2}}-3 \\
\end{array}\] - Considerando $f(x)=mx+b$, vem:
\[t.m.{{v}_{\left[ x,x+h \right]}}=\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}=\frac{[m(x+h)+b]-(mx+b)}{h}=\frac{mx+mh+b-mx-b}{h}=m\] - Considerando $f(x)=k$, vem:
\[t.m.{{v}_{\left[ x,x+h \right]}}=\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}=\frac{k-k}{h}=0\]
