Circunferência circunscrita num triângulo

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A circunferência circunscrita a um triângulo contém os seus vértices, pelo que o seu centro – circuncentro do triângulo – é um ponto equidistante dos seus vértices. Por isso, o circuncentro do triângulo é o ponto de intersecção das mediatrizes dos lados do triângulo (Porquê?).

No caso presente, os vértices do triângulo são:

• $\begin{matrix}
  P(0,0): & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
  x=0  \\
  y=0  \\
  \end{array} \right.  \\
  \end{matrix}$
• $\begin{matrix}
  Q(0,4): & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
  x=0  \\
  y=x+4  \\
  \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
  x=0  \\
  y=4  \\
  \end{array} \right. \right.  \\
  \end{matrix}$
• $\begin{matrix}
  R(-4,0): & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
  y=x+4  \\
  y=0  \\
  \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
  x=-4  \\
  y=0  \\
  \end{array} \right. \right.  \\
  \end{matrix}$

A determinação das equações de duas mediatrizes (basta duas – Porquê?) de dois dos lados do triângulo e, posteriormente, a determinação do seu ponto de intersecção (circuncentro do triângulo) é uma tarefa bastante laboriosa (ver problema 28). Por isso, compensará reparar mais atentamente nos vértices do triângulo:

• A mediatriz do lado [PQ] é a reta de equação $y=2$ (Porquê?).
• A mediatriz do lado [PR] é reta de equação $x=-2$ (Porquê?).

Logo, o circuncentro do triângulo é o ponto de intersecção destas retas: $C(-2,2)$.

O raio dessa circunferência é, por exemplo, $r=\overline{CP}=\sqrt{{{(0+2)}^{2}}+{{(0-2)}^{2}}}=2\sqrt{2}$.

Portanto, uma equação da circunferência pedida é ${{(x+2)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=8$.

(Verifique a solução apresentada, usando a animação acima)

ATALHO:
Vimos que as mediatrizes dos lados [PQ] e [PR] são perpendiculares.
Consequentemente, são também perpendiculares as retas PQ e PR.
Logo, o triângulo [PQR] é retângulo em P.
Assim, o lado [QR] é um diâmetro da circunferência pedida (Porquê?).

Por isso, designando por $T(x,y)$ um ponto genérico dessa circunferência, temos: $\overrightarrow{QT}.\overrightarrow{RT}=0$.

Logo, a circunferência pedida ser definida por: \[\begin{array}{*{35}{l}}
\overrightarrow{QT}.\overrightarrow{RT}=0 & \Leftrightarrow  & (x-0,y-4).(x+4,y-0)=0  \\
{} & \Leftrightarrow  & {{x}^{2}}+4x+{{y}^{2}}-4y=0  \\
{} & \Leftrightarrow  & {{(x+2)}^{2}}-4+{{(y-2)}^{2}}-4=0  \\
{} & \Leftrightarrow  & {{(x+2)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=8  \\
\end{array}\]