Três vetores
Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 177 Ex. 6
Enunciado
Considere os vetores $\vec{u}(-3,1,2)$, $\vec{v}(4,-2,5)$ e $\vec{w}(2,3,-1)$.
- Calcule os números reais a e b, para que o vetor $\vec{v}-\vec{w}$ e o vetor $(a,b,3-a)$ sejam colineares.
- Calcule os números reais $\alpha $ e $\beta $, para que o vetor $\alpha \vec{u}+\beta \vec{v}$ seja igual ao vetor de coordenadas $(-10,4,-1)$.
Resolução
- Ora, $\vec{v}-\vec{w}=(4-2,-2-3,5+1)=(2,-5,6)$.
Para que os vetores considerados sejam colineares, as suas coordenadas têm de ser diretamente proporcionais.
Assim, temos: \[\frac{a}{2}=\frac{b}{-5}=\frac{3-a}{6}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\frac{a}{2}=\frac{b}{-5} \\
\frac{a}{2}=\frac{3-a}{6} \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
6a=6-2a \\
b=-\frac{5}{2}a \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
a=\frac{3}{4} \\
b=-\frac{15}{8} \\
\end{array} \right.\]
- Ora, $\alpha \vec{u}+\beta \vec{v}=(-3\alpha ,\alpha ,2\alpha )+(4\beta ,-2\beta ,5\beta )=(-3\alpha +4\beta ,\alpha -2\beta ,2\alpha +5\beta )$.
Para que os vetores considerados sejam iguais, as suas coordenadas têm de ser iguais.
Assim, temos: \[\alpha \vec{u}+\beta \vec{v}=(-10,4,-1)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
-3\alpha +4\beta =-10 \\
\alpha -2\beta =4 \\
2\alpha +5\beta =-1 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\alpha =2\beta +4 \\
-6\beta -12+4\beta =-10 \\
4\beta +8+5\beta =-1 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\beta =-1 \\
\beta =-1 \\
\alpha =2 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\alpha =2 \\
\beta =-1 \\
\end{array} \right.\]
