Um triângulo escaleno e retângulo

by AMMA · Published 9 de Abril de 2018 · Updated 11 de Janeiro de 2022

Enunciado

Relativamente à figura, que não está desenhada à escala, sabe-se que:

Admite que \(\overline {AD} = 20\), \(\overline {AE} = 25\) e \(\overline {AC} = 40\).
Determina \(\overline {BC} \).
Mostra como chegaste à tua resposta.
Admite agora que a amplitude do ângulo DAE é 37 graus.
Determina a amplitude, em graus, do arco PCQ.
Mostra como chegaste à tua resposta.
Qual as afirmações seguintes é verdadeira?
[A] \({\mathop{\rm sen}\nolimits} A\widehat CB = \frac{{\overline {BC} }}{{\overline {AC} }}\)
[B] \({\mathop{\rm sen}\nolimits} A\widehat CB = \frac{{\overline {AC} }}{{\overline {BC} }}\)
[C] \(\cos A\widehat CB = \frac{{\overline {BC} }}{{\overline {AC} }}\)
[D] \(\cos A\widehat CB = \frac{{\overline {AC} }}{{\overline {BC} }}\)

Resolução

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo [ADE], vem:
\(\overline {DE} = \sqrt {{{\overline {AE} }^2} – {{\overline {AD} }^2}} = \sqrt {{{25}^2} – {{20}^2}} = \sqrt {225} = 15\)
Tendo em consideração a semelhança dos triângulos [ADE] e [ABC], temos:
\[\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\overline {BC} }}{{\overline {DE} }} = \frac{{\overline {AC} }}{{\overline {AE} }}}& \Leftrightarrow &{\frac{{\overline {BC} }}{{15}} = \frac{{40}}{{25}}}& \Leftrightarrow &{\overline {BC} = \frac{{15 \times 40}}{{25}}}& \Leftrightarrow &{\overline {BC} = 24}\end{array}\]
No triângulo retângulo [ABC], os ângulos BAC e ACB são complementares. Logo, \(A\widehat CB = 90^\circ – B\widehat AC = 90^\circ – 37^\circ = 53^\circ \).
Tendo em consideração que ACB é um ângulo inscrito, vem: \(\overparen{PCQ} = 360^\circ – \overparen{PQ} = 360^\circ – 2 \times A\widehat CB = 360^\circ – 2 \times 53^\circ = 254^\circ \).
A afirmação verdadeira é a [C].
[C] \(\cos A\widehat CB = \frac{{\overline {BC} }}{{\overline {AC} }}\)