Um plano inclinado
Trigonometria: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 94 Ex. 45
Observe a figura.
Ignorando o atrito, o tempo t (em segundos) necessário para um bloco deslizar por um plano inclinado é dado pela fórmula \[t=\sqrt{\frac{2a}{g\times sen\,\theta \times \cos \theta }}\] \[t=\sqrt{\frac{2a}{g\times sen\,\theta }}\] onde a é a medida do comprimento da rampa, em metros, e g é a aceleração da gravidade, aproximadamente 9,8 m/s2.
Quanto tempo demora a deslizar um bloco se $a=3,3$ m, quando:
- $\theta =30{}^\text{o}$
- $\theta =45{}^\text{o}$
- $\theta =60{}^\text{o}$
(Aproxime o resultado às centésimas de segundo.)
Para $a=3,3$ m e $g=9,8$ m/s2, vem:
- $\theta =30{}^\text{o}$:
\[\begin{array}{*{35}{l}}
t(\theta =30{}^\text{o}) & = & \sqrt{\frac{2\times 3,3}{9,8\times sen\,30{}^\text{o}\times \cos 30{}^\text{o}}} \\
{} & = & \sqrt{\frac{2\times 3,3}{9,8\times \frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}}} \\
{} & = & \sqrt{\frac{8\times 3,3\times \sqrt{3}}{9,8\times 3}} \\
{} & = & \sqrt{\frac{8,8\times \sqrt{3}}{9,8}} \\
{} & \simeq & 1,25\,\,(s) \\
\end{array}\] - $\theta =45{}^\text{o}$:
\[\begin{array}{*{35}{l}}
t(\theta =45{}^\text{o}) & = & \sqrt{\frac{2\times 3,3}{9,8\times sen\,45{}^\text{o}\times \cos 45{}^\text{o}}} \\
{} & = & \sqrt{\frac{2\times 3,3}{9,8\times \frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}}} \\
{} & = & \sqrt{\frac{4\times 3,3}{9,8}} \\
{} & = & \sqrt{\frac{6,6}{4,9}} \\
{} & \simeq & 1,16\,\,(s) \\
\end{array}\] - $\theta =60{}^\text{o}$:
\[\begin{array}{*{35}{l}}
t(\theta =60{}^\text{o}) & = & \sqrt{\frac{2\times 3,3}{9,8\times sen\,60{}^\text{o}\times \cos 60{}^\text{o}}} \\
{} & = & \sqrt{\frac{2\times 3,3}{9,8\times \frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{1}{2}}} \\
{} & \simeq & 1,25\,\,(s) \\
\end{array}\]
Para $a=3,3$ m e $g=9,8$ m/s2, vem:
- $\theta =30{}^\text{o}$:
\[\begin{array}{*{35}{l}}
t(\theta =30{}^\text{o}) & = & \sqrt{\frac{2\times 3,3}{9,8\times sen\,30{}^\text{o}}} \\
{} & = & \sqrt{\frac{2\times 3,3}{9,8\times \frac{1}{2}}} \\
{} & = & \sqrt{\frac{6,6}{4,9}} \\
{} & \simeq & 1,16\,\,(s) \\
\end{array}\] - $\theta =45{}^\text{o}$:
\[\begin{array}{*{35}{l}}
t(\theta =45{}^\text{o}) & = & \sqrt{\frac{2\times 3,3}{9,8\times sen\,45{}^\text{o}}} \\
{} & = & \sqrt{\frac{2\times 3,3}{9,8\times \frac{\sqrt{2}}{2}}} \\
{} & = & \sqrt{\frac{4\times 3,3\times \sqrt{2}}{9,8\times 2}} \\
{} & = & \sqrt{\frac{3,3\times \sqrt{2}}{4,9}} \\
{} & \simeq & 0,98\,\,(s) \\
\end{array}\] - $\theta =60{}^\text{o}$:
\[\begin{array}{*{35}{l}}
t(\theta =60{}^\text{o}) & = & \sqrt{\frac{2\times 3,3}{9,8\times sen\,60{}^\text{o}}} \\
{} & = & \sqrt{\frac{2\times 3,3}{9,8\times \frac{\sqrt{3}}{2}}} \\
{} & = & \sqrt{\frac{4\times 3,3\times \sqrt{3}}{9,8\times 3}} \\
{} & = & \sqrt{\frac{2,2\times \sqrt{3}}{4,9}} \\
{} & \simeq & 0,88\,\,(s) \\
\end{array}\]
\[t=\sqrt{\frac{2a}{g\times sen\,\theta \times \cos \theta }}\] \[t=\sqrt{\frac{2a}{g\times sen\,\theta }}\]
Comente os resultados obtidos em cada uma das modelações.
A situação apresentada pode ser modelada por ambas as funções?
Justifique a sua resposta.
