Um hexágono regular
Trigonometria: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 94 Ex. 44
Enunciado
Num referencial cartesiano, está representada uma circunferência com raio de uma unidade de comprimento e um hexágono [CDEFGH].
- Explique porque é que sabemos que a abcissa de D é $\cos \frac{\pi }{3}$.
- Determine as coordenadas exactas dos pontos E e G.
- Qual a medida do comprimento do arco CE na unidade considerada?
- Se o raio passasse a ter 5 unidades de comprimento, qual era a abcissa de D?
Resolução
Como se sabe, $C\widehat{O}D=\frac{360{}^\text{o}}{6}=60{}^\text{o}=\frac{\pi }{3}rad$.
Como a circunferência tem de raio uma unidade de comprimento, então $D\,(\cos C\widehat{O}D,sen\,C\widehat{O}D)=(\cos \frac{\pi }{3},sen\,\frac{\pi }{3})$.
Logo, a abcissa de D é $\cos \frac{\pi }{3}$.
- $E\,(\cos \frac{2\pi }{3},sen\,\frac{2\pi }{3})=(-\cos \frac{\pi }{3},sen\,\frac{\pi }{3})=(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$.
$G\,(\cos \frac{4\pi }{3},sen\,\frac{4\pi }{3})=(-\cos \frac{\pi }{3},-sen\,\frac{\pi }{3})=(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$.
- Designando o comprimento do arco CE por x e tendo em consideração a definição de radiano, vem: \[\frac{1\,(rad)}{1\,(u.c.)}=\frac{\frac{2\pi }{3}(rad)}{x\,(u.c.)}\Leftrightarrow x=\frac{2\pi }{3}(u.c.)\]
Portanto, arco CE tem de comprimento $\frac{2\pi }{3}$ unidades.
- Se o raio da circunferência que circunscreve o hexágono passasse a ter 5 unidades de comprimento, a semi-recta $\dot{O}D$ intersectaria a circunferência concêntrica de raio unitário no ponto $D’\,(\cos \frac{\pi }{3},sen\,\frac{\pi }{3})=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$.
Nessa circunstância, seria $\overrightarrow{OD}=5\times \overrightarrow{OD’}$ e, consequentemente, $D\,(5\times \cos \frac{\pi }{3},5\times sen\,\frac{\pi }{3})=(\frac{5}{2},\frac{5\sqrt{3}}{2})$.
Portanto, a abcissa de D seria 2,5.
