Um pentágono
Trigonometria: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 93 Ex. 35
Enunciado
Na figura está representado um círculo trigonométrico de centro O e um pentágono regular [ABCDO].
- Mostre que as coordenadas de B são $(1-\cos \alpha ;sen\,72{}^\text{o})$.
- Determine uma expressão para obter a área do pentágono em função de $\alpha $ (em graus) e apresente um valor dessa área aproximada às décimas.
Resolução
O pentágono regular pode ser obtido pela divisão da circunferência que o circunscreve em cinco arcos geometricamente iguais.
Cada um dos seus ângulos internos é um ângulo inscrito nessa circunferência, logo a sua amplitude é \(\alpha = \frac{{A\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over B} D}}{2} = \frac{{3 \times \frac{{{{360}^{\rm{o}}}}}{5}}}{2} = {108^{\rm{o}}}\).
O ponto D tem coordenadas $({{x}_{D}},{{y}_{D}})$, sendo ${{x}_{D}}=\cos \alpha $ e ${{y}_{D}}=sen\,\alpha $ (note: ${{x}_{D}}<0\wedge {{y}_{D}}>0$).
É útil, neste momento, reparar que o pentágono é simétrico em relação à recta que contém C e é paralela ao eixo das ordenadas.
Assim, os pontos D e B têm iguais ordenadas, logo ${{y}_{B}}={{y}_{D}}=sen\,\alpha $.
Por outro lado, sendo D’e B’ as projeções ortogonais dos pontos D e B, respetivamente, sobre o eixo das abcissas, tem-se que \[\overline{D’O}=\overline{AB’}=-{{x}_{D}}=-\cos \alpha \] Logo, ${{x}_{B}}=\overline{OA}+\overline{AB’}=1-\cos \alpha $.
Vimos acima que ${{y}_{B}}={{y}_{D}}=sen\,\alpha $ e que $\alpha =108{}^\text{o}$, logo \[{{y}_{B}}={{y}_{D}}=sen\,108{}^\text{o}=sen\,(180{}^\text{o}-108{}^\text{o})=sen\,72{}^\text{o}\]Conclui-se, como queríamos mostrar, que \[B\,(1-\cos \alpha ;sen\,72{}^\text{o})\]
- Seja C’ a projeção ortogonal de C sobre a recta BD.
Ora, o triângulo [DCC’] é retângulo em C’ e $D\widehat{C}C’=\frac{D\widehat{C}B}{2}=\frac{108{}^\text{o}}{2}=54{}^\text{o}$.
Logo, $\cos 54{}^\text{o}=\frac{\overline{CC’}}{\overline{DC}}=\frac{\overline{CC’}}{1}=\overline{CC’}$.
Decompondo o pentágono num trapézio e num triângulo, ambos isósceles, temos:
\[\begin{array}{*{35}{l}}
A & = & {{A}_{[ABDO]}}+{{A}_{[BCD]}} \\
{} & = & \frac{\overline{DB}+\overline{OA}}{2}\times \overline{BA’}+\frac{\overline{DB}\times \overline{CC’}}{2} \\
{} & = & \frac{(-\cos \alpha +1-\cos \alpha )+1}{2}\times sen\,\alpha +\frac{(-\cos \alpha +1-\cos \alpha )\times \cos 54{}^\text{o}}{2} \\
{} & = & (1-\cos \alpha )\times sen\,\alpha +\frac{(1-2\cos \alpha )}{2}\times \cos 54{}^\text{o} \\
\end{array}\]
Como $\alpha =108{}^\text{o}$, vem: \[\begin{array}{*{35}{l}}
A(\alpha =108{}^\text{o}) & = & (1-\cos 108{}^\text{o})\times sen\,108{}^\text{o}+\frac{(1-2\cos 108{}^\text{o})}{2}\times \cos 54{}^\text{o} \\
{} & \simeq & 1,72 \\
\end{array}\]
