Um polígono regular
Trigonometria: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 93 Ex. 36
- Qual a medida, em função da metade do ângulo ao centro que lhe corresponde, o lado de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência de raio r? E do quadrado? E do pentágono regular? E do polígono regular de n lados?
- Determine, em função da metade do ângulo ao centro correspondente ao lado, o apótema e a área de um polígono regular de n lados inscrito numa circunferência de raio r.
1.
Seja $\beta =2\alpha $ a amplitude do ângulo ao centro correspondente a um lado de um polígono regular de $n$ lados, inscrito numa circunferência de raio $r$. Assim, será: \[\beta =2\alpha =\frac{360{}^\text{o}}{n}\]
Triângulo equilátero:
No caso do triângulo equilátero, será $\alpha =\frac{360{}^\text{o}}{2\times 3}=60{}^\text{o}$. Como \[sen\,60{}^\text{o}=\frac{\frac{l}{2}}{r}\Leftrightarrow \frac{l}{2}=r\times sen\,60{}^\text{o}\] então \[{{l}_{T}}=2r\times sen\,\frac{120{}^\text{o}}{2}\]
Quadrado:
No caso do quadrado, será $\alpha =\frac{360{}^\text{o}}{2\times 4}=45{}^\text{o}$. Como \[sen\,45{}^\text{o}=\frac{\frac{l}{2}}{r}\Leftrightarrow \frac{l}{2}=r\times sen\,45{}^\text{o}\] então \[{{l}_{Q}}=2r\times sen\,\frac{90{}^\text{o}}{2}\]
Pentágono regular:
No caso do pentágono regular, será $\alpha =\frac{360{}^\text{o}}{2\times 5}=36{}^\text{o}$. Como \[sen\,36{}^\text{o}=\frac{\frac{l}{2}}{r}\Leftrightarrow \frac{l}{2}=r\times sen\,36{}^\text{o}\] então \[{{l}_{P}}=2r\times sen\,\frac{72{}^\text{o}}{2}\]
Polígono regular de n lados:
No caso do polígono regular de n lados, será $\alpha =\frac{360{}^\text{o}}{2\times n}$. Como \[sen\,\frac{360{}^\text{o}}{2n}=\frac{\frac{l}{2}}{r}\Leftrightarrow \frac{l}{2}=r\times sen\,\frac{360{}^\text{o}}{2n}\] então \[{{l}_{n}}=2r\times sen\,\frac{360{}^\text{o}}{2n}\]
2.
Apótema:
Considerando o triângulo retângulo correspondente, temos \[\cos \frac{360{}^\text{o}}{2n}=\frac{ap}{r}\] donde \[ap=r\times \cos \,\frac{360{}^\text{o}}{2n}\]
Área:
A área do triângulo [AOB], isto é, a área de $\frac{1}{n}$ da área desse polígono regular de n lados, é dada por: \[{{A}_{[AOB]}}=\frac{l\times ap}{2}=\frac{2r\times sen\,\frac{360{}^\text{o}}{2n}\times r\times \cos \,\frac{360{}^\text{o}}{2n}}{2}={{r}^{2}}\times sen\,\frac{360{}^\text{o}}{2n}\times \cos \,\frac{360{}^\text{o}}{2n}\]
Logo, a área desse polígono regular de n lados é dada por: \[{{A}_{[Pn]}}=n{{r}^{2}}\times sen\,\frac{360{}^\text{o}}{2n}\times \cos \,\frac{360{}^\text{o}}{2n}\]
