Um recipiente cónico

Trigonometria: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 89 Ex. 26

by AMMA · Published 27 de Setembro de 2010 · Updated 21 de Janeiro de 2022

Enunciado

A figura representa uma vista do corte da parede interior de um recipiente cónico, segundo um plano que contém a altura. O ângulo α está expresso em graus e x em centímetros.

Seja V(x) o volume do líquido correspondente à parte colorida, expresso em cm³.
1. Mostre que V(x) é o volume de um cone de raio da base igual a $x.sen\,\frac{\alpha }{2}$ e de altura igual a $x.\cos \,\frac{\alpha }{2}$.
2. Deduza uma expressão de V(x) em função de x e de α.
Tomemos $\alpha =60{}^\text{o}$.
1. Verifique que $V(x)=\frac{\pi \sqrt{3}}{24}{{x}^{3}}$.
2. Trace a representação gráfica de V(x) num referencial ortogonal (considere, no eixo das abcissas, 1 cm para representar o comprimento 1 cm, e no eixo das abcissas, 1 cm para representar 100 cm³).
3. Explique como utilizar esta curva para marcar sobre a parede do recipiente as graduações 100, 200, …, 700 (em cm³).

Resolução

1. Seja esse cone de vértice V, base com centro em O e raio r, e altura $h=\overline{VO}$.
  A semirreta $\dot{V}O$ é, portanto, bissetriz do ângulo α.
  Assim, \[sen\frac{\alpha }{2}=\frac{r}{x}\Leftrightarrow r=x.sen\frac{\alpha }{2}\] e \[\cos \frac{\alpha }{2}=\frac{h}{x}\Leftrightarrow h=x.\cos \frac{\alpha }{2}\]
2. Uma expressão de V(x) pode ser: \[V(x)=\frac{1}{3}\times \pi \times {{(x.sen\frac{\alpha }{2})}^{2}}\times (x.\cos \frac{\alpha }{2})=\frac{\pi {{x}^{3}}}{3}.se{{n}^{2}}\frac{\alpha }{2}\times \cos \frac{\alpha }{2}\]
Para $\alpha =60{}^\text{o}$, vem:
1. \[\begin{matrix}
  V{{(x)}_{\alpha ={{60}^{\text{o}}}}} & = & \frac{\pi {{x}^{3}}}{3}\times se{{n}^{2}}{{30}^{\text{o}}}\times \cos {{30}^{\text{o}}} \\
  {} & = & \frac{\pi {{x}^{3}}}{3}\times {{(\frac{1}{2})}^{2}}\times \frac{\sqrt{3}}{2} \\
  {} & = & \frac{\pi \sqrt{3}}{24}{{x}^{3}} \\
  \end{matrix}\]
2. A seguir, apresenta-se uma representação gráfica de V(x):
3. A imagem seguinte ilustra a explicação solicitada.