Uma chaminé de cozinha

Trigonometria: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 89 Ex. 25

Enunciado

Uma chaminé de cozinha tem a forma de um tronco de pirâmide com bases retangulares.

As faces [ADHE] e [ABFE] são perpendiculares às duas bases.

Na figura, as dimensões estão expressas em milímetros.

Calcule:

  1. as alturas de [BF] e de [DH] dos trapézios [BCGF] e [CDHG], com aproximação ao milímetro;
  2. a área de cada uma das faces [BCGF] e [CDHG], com aproximação ao cm2;
  3. as medidas dos ângulos α e β, com aproximação à décima de grau;
  4. o comprimento da aresta [GC], com aproximação ao milímetro.

Resolução

­

  1. Seja B’ a projeção ortogonal do ponto B sobre [FE].
    Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo [BFB’], temos:
    \[\overline{BF}=\sqrt{{{\overline{BB’}}^{2}}+{{\overline{FB’}}^{2}}}=\sqrt{{{800}^{2}}+{{200}^{2}}}=\sqrt{680000}=100\sqrt{68}=200\sqrt{17}\]
    Logo, $\overline{BF}\approx 815\ mm$.

    Seja D’ a projeção ortogonal do ponto D sobre [HE].
    Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo [DHD’], temos:
    \[\overline{DH}=\sqrt{{{\overline{DD’}}^{2}}+{{\overline{HD’}}^{2}}}=\sqrt{{{800}^{2}}+{{300}^{2}}}=\sqrt{730000}=100\sqrt{73}\]
    Logo, $\overline{DH}\approx 854\ mm$.
    ­

  2. Ora, \[{{A}_{[BCGF]}}=\frac{\overline{GF}+\overline{CB}}{2}\times \overline{BF}=\frac{700+400}{2}\times 200\sqrt{17}=110000\sqrt{17}\approx 453542\]
    Logo, ${{A}_{[BCGF]}}\approx 4535\ c{{m}^{2}}$.

    De forma análoga, \[{{A}_{[CDHG]}}=\frac{\overline{GH}+\overline{CD}}{2}\times \overline{DH}=\frac{700+500}{2}\times 100\sqrt{73}=60000\sqrt{73}\approx 512640\]
    Logo, ${{A}_{[CDHG]}}\approx 5126\ c{{m}^{2}}$.
    ­

  3. Como $tg\,\alpha =\frac{\overline{BB’}}{\overline{FB’}}=\frac{800}{200}=4$, então $\alpha =t{{g}^{-1}}(4)\approx 76,0{}^\text{o}$.
    Como $tg\,\beta =\frac{\overline{DD’}}{\overline{HD’}}=\frac{800}{300}=\frac{8}{3}$, então $\beta =t{{g}^{-1}}(\frac{8}{3})\approx 69,4{}^\text{o}$.
    ­

  4. Seja C’ a projeção ortogonal do ponto C sobre [GF].
    Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo [CGC’], temos: \[\overline{CG}=\sqrt{{{\overline{BF}}^{2}}+{{\overline{G{C}’}}^{2}}}=\sqrt{({{800}^{2}}+{{200}^{2}})+{{300}^{2}}}=\sqrt{770000}=100\sqrt{77}\]
    Logo, $\overline{CG}\approx 877\ mm$.

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