Um automobilista

Um automobilista percorreu 325 km em 4 h, fazendo a primeira parte do percurso à velocidade média de 90 km/h e a segunda parte a 70 km/h.

1. Qual é a distância percorrida na primeira parte? E na segunda?

2. Quanto tempo demorou em cada uma das partes do percurso?
   Apresenta o resultado em horas e minutos.

Como \(d = v \times t\), então \({t_1} = \frac{{{d_1}}}{{{v_1}}}\) e \({t_2} = \frac{{{d_2}}}{{{v_2}}}\).

1. Equacionando o problema e resolvendo o sistema de equações, vem: \[\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{d_1} + {d_2} = 325}\\{\frac{{{d_1}}}{{90}} + \frac{{{d_2}}}{{70}} = 4}\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{d_1} = 325 – {d_2}}\\{\frac{{{d_1}}}{9} + \frac{{{d_2}}}{7} = 40}\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{d_1} = 325 – {d_2}}\\{7{d_1} + 9{d_2} = 2520}\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow \\{}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{d_1} = 325 – {d_2}}\\{7\left( {325 – {d_2}} \right) + 9{d_2} = 2520}\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{d_1} = 325 – {d_2}}\\{2{d_2} = 2520 – 2275}\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow \\{}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{d_1} = 325 – {d_2}}\\{{d_2} = \frac{{245}}{2}}\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{d_1} = \frac{{405}}{2}}\\{{d_2} = \frac{{245}}{2}}\end{array}} \right.}&{}\end{array}\] Portanto, na primeira parte é percorrida a distância de 202,5 km e na segunda parte é percorrida a distância de 122,5 km.
   
   
2. O tempo gasto na primeira parte foi de 2 h 15 min e na segunda parte foi de 1 h e 45 min, em conformidade com os cálculos seguintes: \[\begin{array}{l}{t_1} = \frac{{{d_1}}}{{{v_1}}} = \frac{{202,5}}{{90}} = 2,25 = 2 + \frac{1}{4}\\{t_2} = \frac{{{d_2}}}{{{v_2}}} = \frac{{122,5}}{{70}} = 1,75 = 1 + \frac{3}{4}\end{array}\]

Uma resolução mais acessível

Em vez de usarmos duas variáveis, passemos a usar apenas uma.
Consideremos a seguinte decomposição do espaço percorrido: \({d_1} + {d_2} = 325\) km.

\[\begin{array}{*{20}{l}}{90 \times {t_1} + 70 \times \left( {4 – {t_1}} \right) = 325}& \Leftrightarrow &{20 \times {t_1} = 325 – 280}\\{}& \Leftrightarrow &{20 \times {t_1} = 45}\\{}& \Leftrightarrow &{{t_1} = 2,25}\end{array}\]

Deste modo, temos:

• \({t_1} = 2,25\) h
• \({t_2} = 4 – 2,25 = 1,75\) h
• \({d_1} = 90 \times {t_1} = 90 \times 2,25 = 202,5\) km
• \({d_2} = 325 – {d_1} = 325 – 202,5 = 122,5\) km

Simulação da situação apresentada

Para executar a animação, deve colocar o seletor de tempo no valor \(t = 0\) e, com o botão direito do rato, deve escolher a opção “Animação”. Para explorar a simulação, basta ir alterando o valor do tempo no seletor.