Sobre ternos pitagóricos

Se três números naturais m, n e p verificarem a igualdade \({m^2} + {n^2} = {p^2}\) diz-se que \(\left( {m,\;n,\;p} \right)\) é um terno pitagórico.

1. Mostra que se \(\left( {m,\;n,\;p} \right)\) é um terno pitagórico e k é um número natural, então \(\left( {km,\;kn,\;kp} \right)\) é também um terno pitagórico.

2. Prova que, sendo a e b números naturais tais que \(a > b\), então os números inteiros \(m = {a^2} – {b^2}\), \(n = 2ab\) e \(p = {a^2} + {b^2}\) formam um terno pitagórico.

3. Utiliza a alínea anterior para obteres diferentes triângulos retângulos de lados inteiros.

1. Sendo \(\left( {m,\;n,\;p} \right)\) um terno pitagórico e k um número natural, vem:
   \[\begin{array}{*{20}{l}}{{m^2} + {n^2} = {p^2}}& \Leftrightarrow &{{k^2} \times \left( {{m^2} + {n^2}} \right) = {p^2} \times {k^2}}\\{}& \Leftrightarrow &{{k^2} \times {m^2} + {k^2} \times {n^2} = {p^2} \times {k^2}}\\{}& \Leftrightarrow &{{{\left( {km} \right)}^2} + {{\left( {kn} \right)}^2} = {{\left( {pk} \right)}^2}}\end{array}\]
   Logo, o terno de números naturais \(\left( {km,\;kn,\;kp} \right)\) é também um terno pitagórico, pois \({{{\left( {km} \right)}^2} + {{\left( {kn} \right)}^2} = {{\left( {pk} \right)}^2}}\).
   
   
2. Comecemos por averiguar o valor lógico da seguinte relação:
   \[\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {{a^2} – {b^2}} \right)}^2} + {{\left( {2ab} \right)}^2} = {{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}& \Leftrightarrow &{\left( {{a^4} – 2{a^2}{b^2} + {b^4}} \right) + \left( {4{a^2}{b^2}} \right) = \left( {{a^4} + 2{a^2}{b^2} + {b^4}} \right)}\\{}& \Leftrightarrow &{\underbrace {{a^4} + 2{a^2}{b^2} + {b^4} = {a^4} + 2{a^2}{b^2} + {b^4}}_{{\rm{Proposição\;verdadeira}}}}\end{array}\]
   Portanto, confirma-se que a relação de igualdade \({{{\left( {{a^2} – {b^2}} \right)}^2} + {{\left( {2ab} \right)}^2} = {{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}\) é verdadeira e, consequentemente, conclui-se que sendo a e b números naturais tais que \(a > b\), então os números inteiros \(m = {a^2} – {b^2}\), \(n = 2ab\) e \(p = {a^2} + {b^2}\) formam um terno pitagórico.
   
   
3. Utilizando as relações da alínea anterior podemos obter diferentes triângulos retângulos de lados inteiros: