Número de ouro no retângulo

Teorema de Pitágoras: Matematicamente Falando 8 - Pág. 73 Tarefa 11

by AMMA · Published 11 de Dezembro de 2022 · Updated 28 de Dezembro de 2022

Enunciado

O Diogo ouviu falar no número de ouro, \(\Phi = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\), na aula de Matemática.

Curioso, decidiu investigar na Internet. Encontrou uma referência ao número de ouro na seguinte construção geométrica:

“Dois quadrados, unidos por um dos seus lados, formam o retângulo [ABCD], com os lados que medem, respetivamente, 1 e 2 unidades de medida. A diagonal [AC] interseta o lado comum aos dois quadrados. Centrada nesse ponto de interseção, desenha-se uma circunferência de diâmetro 1, que interseta [AC} nos pontos M e N.

Então, \(\overline {AN} = \Phi \).”

Reproduz, na tua folha, a construção geométrica descrita, utilizando instrumentos de desenho.
Verifica que a medida de [AN] é o número de ouro, sem recorrer a medições.
Apresenta os cálculos que realizaste.

Resolução

Apresenta-se seguidamente a construção geométrica descrita.
Determinemos agora a medida de [AN]:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\overline {AN} }& = &{\overline {AC} – \overline {NC} }\\{}& = &{\overline {AC} – \frac{{\overline {AC} – \overline {MN} }}{2}}\\{}& = &{\sqrt {{{\overline {AB} }^2} + {{\overline {BC} }^2}} – \frac{{\sqrt {{{\overline {AB} }^2} + {{\overline {BC} }^2}} – \overline {MN} }}{2}}\\{}& = &{\sqrt {{2^2} + {1^2}} – \frac{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} – 1}}{2}}\\{}& = &{\sqrt 5 – \frac{{\sqrt 5 – 1}}{2}}\\{}& = &{\frac{{2\sqrt 5 – \sqrt 5 + 1}}{2}}\\{}& = &{\frac{{\sqrt 5 + 1}}{2}}\end{array}\]
Portanto, \(\Phi = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{2}\).