Dois triângulos retângulos

Na figura, estão representados dois triângulos, [ABC] e [EDC], retângulos, respetivamente em A e D, sendo E e D pontos, respetivamente, dos segmentos de reta [AC] e [BC].

1. Justifica que os triângulos são semelhantes.

2. Supondo que \(\overline {CB} = 10\) cm, \(\overline {CE} = 5\) cm e que \(\overline {DE} = 3\) cm, determina:

1. a razão de semelhança que aplica o triângulo [CDE] no triângulo [CAB].

2. a medida de \(\overline {CD} \).

3. as medidas de \(\overline {AC} \) e \(\overline {AB} \).

1. Os triângulos [ABC] e [EDC] são semelhantes, pois ambos possuem um ângulo reto e o ângulo ACB é comum aos dois triângulos – critério AA.
   
   
2.  

1. Como os triângulos [ABC] e [EDC] são semelhantes, então os comprimentos dos lados correspondentes são diretamente proporcionais:
   \[\frac{{\overline {AB} }}{{\overline {DE} }} = \frac{{\overline {AC} }}{{\overline {CD} }} = \frac{{\overline {BC} }}{{\overline {CE} }}\]
   Substituindo os valores conhecidos na expressão anterior, vem:
   \[\frac{{\overline {AB} }}{3} = \frac{{\overline {AC} }}{{\overline {CD} }} = \frac{{10}}{5}\]
   Portanto, a razão de semelhança que aplica o triângulo [CDE] no triângulo [CAB] é \(r = \frac{{\overline {BC} }}{{\overline {CE} }} = \frac{{10}}{5} = 2\).
   
   
2. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo [CDE], temos:
   \[\overline {CD} = \sqrt {{{\overline {CE} }^2} – {{\overline {DE} }^2}} = \sqrt {{5^2} – {3^2}} = \sqrt {25 – 9} = \sqrt {16} = 4\]
3. Como a razão de semelhança que aplica o triângulo [CDE] no triângulo [CAB] é \(r = 2\), temos:
   \[\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\overline {AB} }}{{\overline {DE} }} = 2}& \Leftrightarrow &{\frac{{\overline {AB} }}{3} = 2}& \Leftrightarrow &{\overline {AB} = 6}\end{array}\]
   \[\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\overline {AC} }}{{\overline {CD} }} = 2}& \Leftrightarrow &{\frac{{\overline {AC} }}{4} = 2}& \Leftrightarrow &{\overline {AC} = 8}\end{array}\]