Considera os números seguintes

Números reais: Matematicamente Falando 8 - Pág. 17 Ex. 3

by AMMA · Published 19 de Outubro de 2022 · Updated 19 de Outubro de 2022

Enunciado

Considera os números seguintes:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{6}{7}}&{ – \frac{{17}}{6}}&{ – \frac{{15}}{9}}&{\frac{7}{5}}&{ – \frac{{13}}{{52}}}\end{array}\]

Indica as frações que se podem representar em dízima finita, identificando as frações equivalentes a frações decimais. Escreve essas frações decimais.
Escreve a representação em dízima de cada um dos números.
Identifica o período, e o respetivo comprimento, das dízimas infinitas periódicas escritas na alínea anterior.

Resolução

		Fração equivalente a fração decimal	Dízima finita	Dízima infinita periódica
A	\[\frac{6}{7} = 0,\left( {{\rm{857142}}} \right)\]	Não		x
B	\[ – \frac{{17}}{6} = – \frac{{17}}{{2 \times 3}} = – {\rm{2}}{\rm{,8}}\left( {\rm{3}} \right)\]	Não		x
C	\[ – \frac{{15}}{9} = – \frac{5}{3} = – {\rm{1}}{\rm{,}}\left( {\rm{6}} \right)\]	Não		x
D	\[\frac{7}{5} = \frac{{14}}{{10}} = 1,4\]	Sim	x
E	\[ – \frac{{13}}{{52}} = – \frac{1}{4} = – \frac{{25}}{{100}} = – 0,25\]	Sim	x

As frações equivalentes a frações decimais são apenas as frações D e E, visto que, nas suas formas irredutíveis, os seus denominadores não têm na sua decomposição fatores primos diferentes de 2 e de 5.
Por isso, são apenas estas as frações que se podem representar em dízima finita.
A representação em dízima de cada um dos números encontra-se registada na tabela acima.
O número A tem dízima infinita periódica de período \({{\rm{857142}}}\) e comprimento \({\rm{6}}\).
O número B tem dízima infinita periódica de período \(3\) e comprimento \({\rm{1}}\).
O número C tem dízima infinita periódica de período \(6\) e comprimento \({\rm{1}}\).

\[\begin{array}{*{20}{c}}{6,}&0&0&0&0&0&0&0&0&{}&{}&7&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\\hline{}&4&0&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{0,}&8&5&7&1&4&2&8&5\\{}&{}&5&0&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\{}&{}&{}&1&0&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\{}&{}&{}&{}&3&0&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\{}&{}&{}&{}&{}&2&0&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\{}&{}&{}&{}&{}&{}&6&0&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&4&0&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&5&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}\end{array}\]

\[\begin{array}{*{20}{c}}1&{7,}&0&0&0&{}&6&{}&{}&{}\\\hline{}&5&0&{}&{}&{}&{2,}&8&3&3\\{}&{}&2&0&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\{}&{}&{}&2&0&{}&{}&{}&{}&{}\\{}&{}&{}&{}&2&{}&{}&{}&{}&{}\end{array}\]

\[\begin{array}{*{20}{c}}{5,}&0&0&{}&3&{}&{}\\\hline2&0&{}&{}&{1,}&6&6\\{}&2&0&{}&{}&{}&{}\\{}&{}&2&{}&{}&{}&{}\end{array}\]