Prove que a sucessão é minorada e não é limitada

Em relação à sucessão de termo geral ${a_n} = 3n + 5$, prove que é minorada e não é limitada.

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Como ${a_{n + 1}} – {a_n} > 0,\forall n \in \mathbb{N}$, então a sucessão é estritamente crescente.

Assim, o seu primeiro termo, ${a_1} = 8$, é o mínimo do conjunto dos seus termos.

Logo, a sucessão é minorada, pois $8 \leqslant {a_n},\forall n \in \mathbb{N}$.

Seja $M \in {\mathbb{R}^ + }$.

Ora, a condição

\[\begin{array}{*{20}{l}}
{{a_n} > M}& \Leftrightarrow &{3n + 5 > M} \\
{}& \Leftrightarrow &{n > \frac{{M – 5}}{3}}
\end{array}\]

é possível para todo o $M \in {\mathbb{R}^ + }$.

Isto significa que, para todo $M \in {\mathbb{R}^ + }$, existem termos da sucessão que são superiores a $M$.

Como $M$ pode ser qualquer número real positivo, conclui-se que a sucessão não é majorada e, consequentemente, não é limitada (ainda que seja limitada inferiormente).