Um jardim retangular

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 87 Ex. 12

by AMMA · Published 13 de Abril de 2018 · Updated 7 de Janeiro de 2022

Enunciado

Um jardim retangular tem 6 metros de comprimento e 4 metros de largura.
Este jardim foi aumentado de modo a ficar com uma área de 143 m².
O acrescento a cada lado foi igual.

Quantos metros foram acrescentados ao comprimento e à largura deste jardim?
Um rolo com 45 m de rede chega para vedar o novo jardim?

Resolução

Seja \(x > 0\), em metros, o valor acrescentado a cada lado do jardim.
Assim, a área do jardim aumentado, em função do aumento \(x > 0\), em metros, pode ser expressa por:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{A_{JA}}}& = &{\left( {x + 6 + x} \right)\left( {x + 4 + x} \right)}\\{}& = &{\left( {2x + 6} \right)\left( {2x + 4} \right)}\\{}& = &{4{x^2} + 8x + 12x + 24}\\{}& = &{4{x^2} + 20x + 24}\end{array}\]
Como o jardim aumentado ficou com uma área de 143 m², temos:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{A_{JA}} = 143}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{4{x^2} + 20x + 24 = 143}& \wedge &{x > 0}\end{array}}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{4{x^2} + 20x – 119 = 0}& \wedge &{x > 0}\end{array}}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{ – 20 \mp \sqrt {{{20}^2} – 4 \times 4 \times \left( { – 119} \right)} }}{{2 \times 4}}}& \wedge &{x > 0}\end{array}}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{ – 20 \mp \sqrt {2304} }}{8}}& \wedge &{x > 0}\end{array}}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{ – 20 \mp 48}}{8}}& \wedge &{x > 0}\end{array}}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{x = – 8,5}& \vee &{x = 3,5}\end{array}} \right)}& \wedge &{x > 0}\end{array}}\\{}& \Leftrightarrow &{x = 3,5}\end{array}\]
Portanto, foram acrescentados 7 metros ao comprimento, quer à largura do jardim.
Calculemos, em metros, o perímetro do jardim aumentado:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{P_{JA}}}& = &{2 \times \left( {6 + 7} \right) + 2 \times \left( {4 + 7} \right)}\\{}& = &{26 + 22}\\{}& = &{48}\end{array}\]
Não, um rolo com 45 m de rede não chega para vedar o novo jardim, pois o seu perímetro é superior a 45 metros.