Um polígono [ABEG]
Trigonometria: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 99 Ex. 72
Enunciado
Na figura está representado, a cor, um polígono [ABEG].
Tem-se que:
- [ABFG] é um quadrado de lado 2.
- FD é um arco de circunferência de centro em B; o ponto E move-se ao longo desse arco; em consequência, o ponto C desloca-se sobre o segmento [BD], de tal forma que se tem sempre $[EC]\bot [BD]$.
- x designa a amplitude, em radianos, do ângulo CBE $\left( x\in \left[ 0,\frac{\pi }{2} \right] \right)$.
- Mostre que a área do polígono [ABEG] é dada, em função de x, por $A(x)=2(1+sen\,x+\cos x)$. (Sugestão: pode ser-lhe útil considerar o trapézio [ACEG])
- Determine $A(0)$ e $A(\frac{\pi }{2})$. Interprete, geometricamente, cada um dos valores obtidos.
Resolução
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No triângulo retângulo [BCE], obtém-se: \[\cos x=\frac{\overline{BC}}{2}\Leftrightarrow \overline{BC}=2\cos x\] e \[sen\,x=\frac{\overline{EC}}{2}\Leftrightarrow \overline{EC}=2\,sen\,x\] Logo, \[\begin{array}{*{35}{l}} A(x) & = & {{A}_{[ACEG]}}-{{A}_{[BCE]}} \\ {} & = & \frac{\overline{AG}+\overline{CE}}{2}\times \overline{AC}-\frac{\overline{BC}\times \overline{CE}}{2} \\ {} & = & \frac{2+2\,sen\,x}{2}\times (2+2\cos x)-\frac{2\cos x\times 2\,sen\,x}{2} \\ {} & = & (1+sen\,x)\times (2+2\cos x)-2\cos x\times \,sen\,x \\ {} & = & 2+2\cos x+2\,sen\,x+2\cos x\times sen\,x-2\cos x\times \,sen\,x \\ {} & = & 2(1+\cos x+sen\,x) \\ \end{array}\]
- Os valores pedidos são: \[A(0)=2(1+\cos 0+sen\,0)=2(1+1+0)=4\] \[A(\frac{\pi }{2})=2(1+\cos \frac{\pi }{2}+sen\,\frac{\pi }{2})=2(1+0+1)=4\]
Para $x=0$, o ponto E coincide com o ponto D.
Nesta situação, o polígono colorido é o triângulo [ADG], cuja área é igual a 4.Para $x=\frac{\pi }{2}$, o ponto E coincide com o ponto F.
Nesta situação, o polígono colorido é o quadrado [ABFG], cuja área é, também, igual a 4.
(Explore a animação acima)
