Considere o cubo com $4$ cm de aresta representado na figura
Resolução de problemas de geometria: Matemática A 10.º - Parte 1 - Pág. 63 Ex. 3
Cubo com $4$ cm de aresta
Consideremos o cubo com $4$ cm de aresta representado na figura.
Sabendo que I e J são pontos médios das arestas a que pertencem:
- reproduza o cubo e construa a secção nele produzida pelo plano IDJ;
- prove que a secção obtida na alínea anterior é um losango e represente-a em verdadeira grandeza;
- determine os valores exatos do perímetro e da área da secção, apresentando o resultado o mais simplificado possível.
- A secção produzida no cubo pelo plano IDJ é o quadrilátero [IDJF], cuja construção está apresentada na figura acima.
- O quadrilátero [IDJF] possui os lados opostos paralelos, pois o plano IDJ interseta planos paralelos (que contêm faces opostas do cubo) segundo retas paralelas.
Por outro lado, o quadrilátero possui os quatro lados geometricamente iguais, pois são hipotenusas de triângulos retângulos geometricamente iguais ao triângulo [IEF], sendo (em cm)
$$\overline {IF} = \overline {FJ} = \overline {JD} = \overline {DI} = \sqrt {{2^2} + {4^2}} = \sqrt {20} = 2\sqrt 5 $$Portanto, o quadrilátero [IDJF] possui os quatro lados geometricamente iguais e paralelos dois a dois. Por isso, o quadrilátero é um losango, propriamente losango ou quadrado.
Contudo, como as suas diagonais são diferentes, pois uma é uma diagonal espacial do cubo ($\overline {FD} = 4\sqrt 3 $ cm) e a outra é geometricamente igual a uma diagonal facial do cubo ($\overline {IJ} = 4\sqrt 2 $ cm), conclui-se que é um losango não quadrado.
A secção obtida está representada em verdadeira grandeza na figura acima.
- A secção produzida no cubo tem de perímetro $P = 4 \times \overline {IF} = 4 \times 2\sqrt 5 = 8\sqrt 5 $ cm e de área $A = \frac{{\overline {IJ} \times \overline {FD} }}{2} = \frac{{4\sqrt 2 \times 4\sqrt {3\;} }}{2} = 8\sqrt 6 $ cm2.
