O mesmo cubo com $4$ cm de aresta
Resolução de problemas de geometria: Matemática A 10.º - Parte 1 - Pág. 63 Ex. 2
Considere, ainda, o cubo [ABCDEFGH] do exercício anterior e o plano IJK paralelo a AD.
- Determine as dimensões da secção [IJKL], supondo que I e J são pontos médios das arestas [EF] e [AE].
- Sendo $\overline {EJ} = \overline {EI} $, determine $\overline {EJ} $ de modo que a secção [IJKL] seja um quadrado.
Se I e J são os pontos médios das arestas [EF] e [AE], a secção produzida no cubo pelo plano IJK paralelo a AD é um retângulo com $\overline {JK} = \overline {IL} = 4$ cm e $\overline {IJ} = \overline {KL} = \sqrt {{2^2} + {2^2}} = \sqrt 8 = 2\sqrt 2 $ cm.
- Seja $\overline {EJ} = \overline {EI} = x$, com $0 < x < 4$, em centímetros.
Para que o quadrilátero [IJKL] seja um quadrado, terá de ser: $\overline {IJ} = \overline {JK} = 4$.
Assim, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo [IEJ], temos:
$\begin{array}{*{20}{l}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt {{x^2} + {x^2}} = 4}& \wedge &{0 < x < 4} \end{array}}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}} {2{x^2} = 16}& \wedge &{0 < x < 4} \end{array}} \\ {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} = 8}& \wedge &{0 < x < 4} \end{array}} \\ {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}} {x = \mp \sqrt 8 }& \wedge &{0 < x < 4} \end{array}} \\ {}& \Leftrightarrow &{x = 2\sqrt 2 } \end{array}$
Portanto, terá de ser $\overline {EJ} = \overline {EI} = 2\sqrt 2 $ cm (o presente comprimento de [IJ]).
