Um cubo com $4$ cm de aresta
Resolução de problemas de geometria: Matemática A 10.º - Parte 1 - Pág. 63 Ex. 1
Enunciado
Cubo com $4$ cm de aresta
Consideremos o cubo [ABCDEFGH], com $4$ cm de aresta e o plano IJK, sendo J e K pontos médios das arestas [AE] e [DH], respetivamente, e I um ponto de [EF], tal que $\overline {EI} = 3$ cm.
- Qual a posição do plano IJK em relação à reta da aresta [AD]? Porquê?
- Represente em perspetiva sobre o cubo a secção nele produzida pelo plano IJK.
- Classifique, justificando, a secção obtida e represente-a em verdadeira grandeza.
- Determine o valor exato do perímetro e da área da secção.
Resolução
Cubo com $4$ cm de aresta
- As retas JK e AD são paralelas, pois J e K são os pontos médios das arestas [AE] e [DH], respetivamente.
Ora, a reta AD é paralela à reta JK contida no plano IJK. Logo, o plano IJK é paralelo à reta AD (um plano é paralelo a uma reta se nesse plano existir uma reta paralela à reta dada). - A secção produzida no cubo pelo plano IJK é o quadrilátero [IJKL].
- Um plano interseta planos paralelos segundo retas paralelas. Logo, as retas IJ e KL, intersecção do plano IJK com os planos ABF e DCG, respetivamente, são paralelas.
Consequentemente, os lados [IJ] e [KL] do quadrilátero são paralelos.Esses lados são geometricamente iguais, pois são hipotenusas dos triângulos retângulos [IEJ] e [LHK] geometricamente iguais.
Como a reta JK é perpendicular ao plano ABF (pois é paralela à reta AD), então é perpendicular a todas as retas desse plano e, em particular, à reta IJ. Consequentemente, é reto o ângulo IJK.
Assim, conclui-se que o quadrilátero [IJKL] é um retângulo, sendo $\overline {JK} = \overline {IL} = 4$ cm e $\overline {IJ} = \overline {KL} = \sqrt {{2^2} + {3^2}} = \sqrt {13} $ cm.
- A secção produzida no cubo tem de perímetro $P = 2 \times \left( {4 + \sqrt {13} } \right) = 8 + 2\sqrt {13} $ cm e de área $A = 4 \times \sqrt {13} = 4\sqrt {13} $ cm2.
