Em volta de um retângulo
Módulo inicial: Matemática A 10.º - Parte 1 - Pág. 38 Ex. 29
Observe a figura ao lado, onde [ABCD] é um retângulo.
- Se o segmento de reta [AM] é perpendicular a BD, demonstre que os triângulos [MAD] e [ABD] são semelhantes.
- Se AM e PC são paralelas e AM e BD são perpendiculares, demostre que os triângulos [MAD] e [PBC] são semelhantes e conclua que $\frac{{\overline {AD} }}{{\overline {PC} }} = \frac{{\overline {MD} }}{{\overline {BP} }}$.
- Se PC é perpendicular a BD, demonstre que $\frac{{\overline {NC} }}{{\overline {NB} }} = \frac{{\overline {NB} }}{{\overline {NP} }}$.
- Se AM é perpendicular a BD, PC paralela a AM, $\overline {AM} = 6$ cm e $\overline {BN} = 4$ cm, determine as razões entre os perímetros e as áreas dos triângulos [BAD] e [PBC], depois de justificar que os triângulos são semelhantes.
Os dois triângulos, [MAD] e [ABD], são ambos retângulos.
Ora, o ângulo ADB é comum aos dois triângulos.
Logo, os triângulos [MAD] e [ABD] são semelhantes, pois possuem dois ângulos respetivamente iguais, cada um a cada um.
- Os dois triângulos, [MAD] e [PBC], são ambos retângulos.
Os ângulos DAM e BCP são geometricamente iguais, pois são ângulos agudos de lados paralelos.
Logo, os triângulos [MAD] e [PBC] são semelhantes, pois possuem dois ângulos respetivamente iguais.
Como em triângulos semelhantes, os lados correspondentes têm comprimentos diretamente proporcionais, resulta: $\frac{{\overline {AD} }}{{\overline {PC} }} = \frac{{\overline {MD} }}{{\overline {BP} }} = \frac{{\overline {AM} }}{{\overline {BC} }}$.
- Os triângulos [PNB] e [BNC] são semelhantes, pois possuem dois ângulos respetivamente iguais (os ângulos PNB e BNC são retos e os ângulos ABD e BCP são também geometricamente iguais [por 1. e 2.]).
Consequentemente, os lados correspondentes desses triângulos possuem comprimentos diretamente proporcionais: $\frac{{\overline {NC} }}{{\overline {NB} }} = \frac{{\overline {NB} }}{{\overline {NP} }} = \frac{{\overline {BC} }}{{\overline {BP} }}$.
- Os triângulos [BAD] e [PBC] são semelhantes, pois são ambos semelhantes ao triângulo [MAD] (por 1. e 2.).
Os segmentos de reta [AM] e [BN] são, respetivamente, as alturas relativas às hipotenusas dos triângulos semelhantes [BAD] e [PBC].
Ora, a razão entre os seus comprimentos é $r = \frac{{\overline {AM} }}{{\overline {BN} }} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.
Logo, o triângulo [BAD] é uma ampliação do triângulo [PBC] com razão $r = \frac{3}{2}$.
Consequentemente, a razão entre os perímetros desses triângulos é $r = \frac{3}{2}$ e a razão entre as suas áreas é ${r^2} = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{9}{4}$.
