Um quadrado multiplicativo

Números inteiros: Matematicamente Falando 7 - Pág. 14 Ex. 10

by AMMA · Published 1 de Outubro de 2012 · Updated 19 de Janeiro de 2022

Enunciado

Um quadrado multiplicativo caracteriza-se por o produto dos números em cada linha e em cada coluna ser o mesmo.

Completa o quadrado multiplicativo.
No quadrado obtido, multiplica cada número por $-3$. O que observas?
Se adicionares $-2$ aos números do quadrado obtido em 1., o que observas?

Resolução

1. Podemos determinar o valor do produto dos números em cada linha e em cada coluna utilizando a 1.ª coluna do quadrado: $$5 \times \left( { – 4} \right) \times 4 = – 20 \times 4 = – 80$$
  De seguida, calculam-se os valores em falta em cada um dos quadradinhos:
  $$\begin{array}{*{20}{l}} {5 \times 8 \times \left( ? \right) = – 80}& \Rightarrow &{40 \times \left( ? \right) = – 80}& \Rightarrow &{\left( ? \right) = – 2}\\ { – 4 \times \left( ? \right) \times 2 = – 80}& \Rightarrow &{ – 8 \times \left( ? \right) = – 80}& \Rightarrow &{\left( ? \right) = 10}\\ {8 \times 10 \times \left( ? \right) = – 80}& \Rightarrow &{80 \times \left( ? \right) = – 80}& \Rightarrow &{\left( ? \right) = – 1}\\ { – 2 \times 2 \times \left( ? \right) = – 80}& \Rightarrow &{ – 4 \times \left( ? \right) = – 80}& \Rightarrow &{\left( ? \right) = 20} \end{array}$$
2. Multiplicando por $-3$ cada um dos números do quadrado obtido em 1., obtém-se o seguinte quadrado:
  
  $-15$ $-24$ $6$
  
  $12$ $-30$ $-6$
  
  $-12$ $3$ $-60$
  
  Podemos concluir que, agora, o produto dos números em cada linha e em cada coluna é $ – 80 \times \left[ {\left( { – 3} \right) \times \left( { – 3} \right) \times \left( { – 3} \right)} \right] = – 80 \times \left( { – 27} \right) = 2160$, pois cada um dos valores foi multiplicado por $-3$.
  
  Estamos ainda face a um quadrado multiplicativo. Com efeito, temos:
  $$\begin{array}{*{20}{l}} {Linha}&{}&{Coluna}\\ { – 15 \times \left( { – 24} \right) \times 6 = 360 \times 6 = 2160}&{}&{ – 15 \times 12 \times \left( { – 12} \right) = – 180 \times \left( { – 12} \right) = 2160}\\ {12 \times \left( { – 30} \right) \times \left( { – 6} \right) = \left( { – 360} \right) \times \left( { – 6} \right) = 2160}&{}&{ – 24 \times \left( { – 30} \right) \times 3 = 720 \times 3 = 2160}\\ { – 12 \times 3 \times \left( { – 60} \right) = – 36 \times \left( { – 60} \right) = 2160}&{}&{6 \times \left( { – 6} \right) \times \left( { – 60} \right) = – 36 \times \left( { – 60} \right) = 2160} \end{array}$$
3. Adicionando $-2$ cada um dos números do quadrado obtido em 1., obtém-se o seguinte quadrado:
  
  $3$ $6$ $-4$
  
  $-6$ $8$ $0$
  
  $2$ $-3$ $18$
  
  Podemos concluir que já não estamos face a um quadrado multiplicativo. (PORQUÊ?)