Serviço na Urgência
Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 174 Ex. 45
Todos os médicos que estão de serviço na Urgência se cumprimentaram apertando a mão.
Sabendo que foram dados 45 apertos de mão, quantos médicos estão de serviço?
A pessoa A não se cumprimenta a si própria e o cumprimento entre as pessoas A e B é único.
Trata-se, portanto, de determinar $n$, tal que $^{n}{{C}_{2}}=45$.
Ora, $$\begin{array}{*{35}{l}}
^{n}{{C}_{2}}=45 & \Leftrightarrow & \begin{matrix}
\frac{n(n-1)(n-2)!}{(n-2)\times 2!}=45 & \wedge & n\in \mathbb{N} \\
\end{matrix} \\
{} & \Leftrightarrow & \begin{matrix}
\frac{n(n-1)}{2}=45 & \wedge & n\in \mathbb{N} \\
\end{matrix} \\
{} & \Leftrightarrow & \begin{matrix}
{{n}^{2}}-n-90=0 & \wedge & n\in \mathbb{N} \\
\end{matrix} \\
{} & \Leftrightarrow & \begin{matrix}
n=\frac{1\mp \sqrt{1+360}}{2} & \wedge & n\in \mathbb{N} \\
\end{matrix} \\
{} & \Leftrightarrow & \begin{matrix}
(n=10\vee n=-9) & \wedge & n\in \mathbb{N} \\
\end{matrix} \\
{} & \Leftrightarrow & n=10 \\
\end{array}$$
Portanto, estão dez médicos de serviço.
