Objetos em caixas

O Pedro tem uma caixa cúbica.
A medida do comprimento da aresta da caixa é 6 cm.

Ajuda-o a saber qual é o comprimento máximo das palhinhas que cabem nessa caixa.

Por aplicação do Teorema de Pitágoras, comecemos por determinar, em centímetros, o comprimento da sombra da palhinha no fundo da caixa:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{d_f}}& = &{\sqrt {{6^2} + {6^2}} }\\{}& = &{\sqrt {36 + 36} }\\{}& = &{\sqrt {72} }\end{array}\]

Ainda por aplicação do Teorema de Pitágoras, determinemos agora o comprimento, em centímetros, da aresta espacial da caixa:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{d_e}}& = &{\sqrt {{6^2} + {{\left( {\sqrt {72} } \right)}^2}} }\\{}& = &{\sqrt {36 + 72} }\\{}& = &{\sqrt {108} }\\{}& \simeq &{10,39}\end{array}\]

O comprimento máximo da palhinha a colocar na caixa cúbica é, aproximadamente, 10,39 cm.

Uma alternativa com menos cálculos

Este método de cálculo é conhecido por aplicação do Teorema de Pitágoras no espaço:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{d_e}}& = &{\sqrt {{6^2} + {6^2} + {6^2}} }\\{}& = &{\sqrt {36 + 36 + 36} }\\{}& = &{\sqrt {108} }\end{array}\]

A explicação encontra-se facilmente nos cálculos acima. Vejamos:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\begin{array}{*{20}{l}}{{d_e}}& = &{\sqrt {{6^2} + {6^2} + {6^2}} }\\{}& = &{\sqrt {36 + 36 + 36} }\\{}& = &{\sqrt {108} }\end{array}}&{}&{\begin{array}{*{20}{l}}{{d_e}}& = &{\sqrt {{6^2} + {{\left( {{d_f}} \right)}^2}} }\\{}& = &{\sqrt {{6^2} + {{\left( {\sqrt {{6^2} + {6^2}} } \right)}^2}} }\\{}& = &{\sqrt {{6^2} + {6^2} + {6^2}} }\\{}& = &{\sqrt {36 + 36 + 36} }\\{}& = &{\sqrt {108} }\end{array}}&{}&{\begin{array}{*{20}{l}}{{d_f}}& = &{\sqrt {{6^2} + {6^2}} }\\{}& = &{\sqrt {36 + 36} }\\{}& = &{\sqrt {72} }\end{array}}\end{array}\]

Comprimento da diagonal da base e da diagonal espacial do paralelepípedo retângulo

Comprimento da diagonal da base e da diagonal espacial do paralelepípedo retângulo:

• \(x = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

• \(d = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)

Demonstração da expressão relativa à diagonal espacial:

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo [BDH], temos:

\[\begin{array}{*{20}{l}}d& = &{\sqrt {{{\overline {BD} }^2} + {{\overline {DH} }^2}} }\\{}& = &{\sqrt {{x^2} + {c^2}} }\\{}& = &{\sqrt {{{\left( {\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right)}^2} + {c^2}} }\\{}& = &{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }\end{array}\]