Dois ângulos: 2.º e 4.º quadrantes
Trigonometria: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 92 Ex. 32
- Desenhe um ângulo do 2.º quadrante cujo cosseno seja $-\frac{3}{4}$.
Determine o valor exato do seno e da tangente. - Desenhe um ângulo do 4.º quadrante cuja tangente seja $-\frac{3}{2}$.
Qual o valor exato do seno e do cosseno?
-
Desenhado esse ângulo com o auxílio do círculo trigonométrico, o seu lado extremidade intersecta a circunferência no ponto $P\,(-\frac{3}{4},y)$, com $y>0$. (Porquê?)
Como $\overline{OP}=1$, temos: \[\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\sqrt{{{(-\frac{3}{4}-0)}^{2}}+{{(y-0)}^{2}}}=1 \\
y>0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\frac{9}{16}+{{y}^{2}}=1 \\
y>0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{y}^{2}}=\frac{7}{16} \\
y>0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
y=\mp \frac{\sqrt{7}}{4} \\
y>0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow y=\frac{\sqrt{7}}{4}\]
Assim, \(P\,(-\frac{3}{4},\frac{\sqrt{7}}{4})\).
Logo, \[sen\,\alpha =\frac{\sqrt{7}}{4}\ \ \ \text{e}\ \ \ tg\,\alpha =\frac{\frac{\sqrt{7}}{4}}{-\frac{3}{4}}=-\frac{\sqrt{7}}{3}\] -
Desenhado esse ângulo com o auxílio do círculo trigonométrico, o seu lado extremidade intersecta o eixo das tangentes no ponto $P’\,(1,-\frac{3}{2})$ e a circunferência no ponto $P\,(x,y)$, com $x>0\wedge y<0$. (Porquê?)
Tendo em consideração que os triângulos de hipotenusas [OP] e [OP’] são semelhantes, vem: \[\frac{\overline{OP’}}{\overline{OP}}=\frac{\frac{3}{2}}{-y}=\frac{1}{x}\]
Dado que \[\overline{OP’}=\sqrt{{{1}^{2}}+{{(-\frac{3}{2})}^{2}}}=\sqrt{\frac{13}{4}}=\frac{\sqrt{13}}{2}\] temos:
\[\frac{\frac{\sqrt{13}}{2}}{1}=\frac{\frac{3}{2}}{-y}\Leftrightarrow y=-\frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{13}}{2}}\Leftrightarrow y=-\frac{3}{\sqrt{13}}\Leftrightarrow y=-\frac{3\sqrt{13}}{13}\] e \[\frac{\frac{\sqrt{13}}{2}}{1}=\frac{1}{x}\Leftrightarrow x=\frac{1}{\frac{\sqrt{13}}{2}}\Leftrightarrow x=\frac{2\sqrt{13}}{13}\]
Portanto, \[sen\,\alpha =-\frac{3\sqrt{13}}{13}\ \ \ \text{e}\ \ \ \cos \,\alpha =\frac{2\sqrt{13}}{13}\]
ALTERNATIVA:
Dado que \(\overrightarrow{OP}=\frac{\overrightarrow{OP’}}{\left\| \overrightarrow{OP’} \right\|}\) (Porquê?), tem-se: \[\overrightarrow{OP}=\frac{(1,-\frac{3}{2})}{\frac{\sqrt{13}}{2}}=\left( \frac{1}{\frac{\sqrt{13}}{2}},-\frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{13}}{2}} \right)=\left( \frac{2\sqrt{13}}{13},-\frac{3\sqrt{13}}{13} \right)\]
