O triângulo [ABC] é retângulo em A

O triângulo [ABC] é retângulo em A, sendo [AP] a altura referente à hipotenusa.

Sabendo que \(\overline {AP} = 8\) cm e \(\overline {CP} = 10\) cm, qual é :

1. o comprimento de [BP]?
   [A] 6,4 cm      [B] 10 cm      [C] 7 cm      [D] 8,2 cm

2. o comprimento, aproximado às décimas, de cada um dos catetos de [ABC]?
   [A] 6,4 cm e 19,3 cm.
   [B] 10,2 cm e 12,8 cm.
   [C] 10,2 cm e 19,3 cm.
   [D] 12,8 cm e 19,3 cm.

1. Como os triângulos [ACP] e [ABP] são semelhantes (critério AA), então os comprimentos dos lados correspondentes são diretamente proporcionais:
   \[\frac{{\overline {AP} }}{{\overline {BP} }} = \frac{{\overline {CP} }}{{\overline {AP} }} = \frac{{\overline {AC} }}{{\overline {AB} }}\]
   Considerando as duas primeiras razões e substituindo os valores conhecidos, vem:
   \[\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{8}{{\overline {BP} }} = \frac{{10}}{8}}& \Leftrightarrow &{10 \times \overline {BP} = 8 \times 8}\\{}& \Leftrightarrow &{\overline {BP} = \frac{{8 \times 8}}{{10}}}\\{}& \Leftrightarrow &{\overline {BP} = 6,4}\end{array}\]
   Portanto, a opção correta é [A] 6,4 cm.
   
   
2. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo [ACP], vem:
   \[\overline {AC} = \sqrt {{{\overline {AP} }^2} + {{\overline {CP} }^2}} = \sqrt {{8^2} + {{10}^2}} = \sqrt {164} \approx 12,8\]
   Aplicando agora o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo [ABP], vem:
   \[\overline {AB} = \sqrt {{{\overline {AP} }^2} + {{\overline {BP} }^2}} = \sqrt {{8^2} + {{6,4}^2}} = \sqrt {104,96} \approx 10,2\]
   Portanto, a opção correta é [B] 10,2 cm e 12,8 cm.