Uma demonstração do Teorema de Pitágoras

Considera o triângulo [ABC] retângulo em C , onde \(a = \overline {BC} \), \(b = \overline {AC} \) e \(c = \overline {AB} \).

Sejam [CD] a altura do triângulo relativa à hipotenusa, \(x = \overline {AD} \) e \(y = \overline {DB} \).

1. Justifica que \({b^2} = xc\).

2. Justifica que \({a^2} = yc\).

3. Observando a figura e tendo em consideração as alíneas 1. e 2., mostra que \[{a^2} + {b^2} = {c^2}\]

1. Como os triângulos [ACD] e [ABC] são semelhantes, e considerando apenas os lados opostos aos ângulos reto e  de cor azul de ambos os triângulos, tem-se:
   \[\frac{x}{b} = \frac{b}{c}\]
   Donde resulta \({b^2} = xc\).
   
   
2. Como os triângulos [BCD] e [ABC] são semelhantes, e considerando apenas os lados opostos aos ângulo reto e  de cor verde de ambos os triângulos, tem-se:
   \[\frac{y}{a} = \frac{a}{c}\]
   Donde resulta \({a^2} = yc\).
   
   
3. Ora, \({a^2} + {b^2} = yc + xc = \left( {y + x} \right) \times c = c \times c = {c^2}\).
   Logo, tem-se:
   \[{a^2} + {b^2} = {c^2}\]

Para esclarecimento das proporções consideradas acima

\[\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{São\,semelhantes\,[ACD]\,e\,[ABC]:}}}&{}&{{\rm{São\,semelhantes\,[BCD]\,e\,[ABC]:}}}\\{\frac{{\overline {AD} }}{{\overline {AC} }} = \frac{{\overline {AC} }}{{\overline {AB} }} = \frac{{\overline {CD} }}{{\overline {BC} }}}&{}&{\frac{{\overline {BD} }}{{\overline {BC} }} = \frac{{\overline {BC} }}{{\overline {AB} }} = \frac{{\overline {CD} }}{{\overline {AC} }}}\\{}&{}&{}\\{\frac{x}{b} = \frac{b}{c} = \frac{{\overline {CD} }}{a}}&{}&{\frac{y}{a} = \frac{a}{c} = \frac{{\overline {CD} }}{b}}\end{array}\]