Soluções dos Desafios
A Queda Livre – Galileu Descreve o Movimento
Soluções dos Desafios
Desafio 1
Houve muitos trabalhos que antecederam o de Galileu, no que diz respeito ao movimento. No período de 1280 a 1340, matemáticos de Merton College, em Oxford, meditaram cuidadosamente sobre diversas grandezas que variavam com o tempo. Um teorema geral, conhecido por “Teorema de Merton” ou “Regra da Velocidade Média”, resume um resultado que se mostrou de grande importância.
Este teorema, que pode ser aplicado ao movimento com aceleração uniforme, é expresso em termos simples da seguinte maneira: a distância percorrida por um objeto durante um certo tempo, durante o qual a sua velocidade varia uniformemente, é igual à distância que o mesmo objeto percorreria se estivesse animado com velocidade uniforme de valor igual à velocidade média durante esse tempo.
- Mostre que a distância total percorrida a velocidade constante pode ser expressa pela área abaixo da linha desenhada num gráfico da velocidade em função do tempo (A “área” deve ser calculada em unidades de velocidade x unidades de tempo).
- Suponha que esta área representa a distância total percorrida, mesmo quando a velocidade não é constante.
Desenhe um gráfico da velocidade em função do tempo, para uma velocidade que cresça uniformemente, e trace a área abaixo da linha desenhada. - Prove o “Teorema de Merton”, mostrando que a área obtida é igual à área abaixo de uma linha de velocidade constante, em que esta seja igual à velocidade média.
Resolução
Consideremos a representação gráfica apresentada na figura à direita, relativa ao movimento de um objeto animado de velocidade constante \({v_c}\).
No intervalo de tempo \(\left[ {{t_1},\;{t_2}} \right]\), a distância percorrida pelo objeto é expressa por \(d = {v_c} \times \left( {{t_2} – {t_1}} \right)\).
Ora, no intervalo considerado, a área limitada pelo gráfico de \(v\) e o eixo horizontal é dada por:\[\begin{array}{*{20}{l}}{{A_{\left[ {ABEF} \right]}}}& = &{\overline {AB} \times \overline {AF} }\\{}& = &{{v_c} \times \left( {{t_2} – {t_1}} \right)}\end{array}\]
Logo, a distância total percorrida por um objeto a velocidade constante no intervalo \(\left[ {{t_1},\;{t_2}} \right]\) pode ser expressa pela área abaixo da linha desenhada num gráfico da velocidade em função do tempo: \(d = {A_{\left[ {ABEF} \right]}}\).
Consideremos agora o objeto animado de uma velocidade que cresce uniformemente ao longo do tempo, cuja representação gráfica está apresentada na animação ao lado.
Admitamos ainda que e a área abaixo do gráfico da nova função \(v\) e o eixo horizontal continua a representar a distância total percorrida no mesmo intervalo de tempo \(\left[ {{t_1},\;{t_2}} \right]\).
Agora, no mesmo intervalo de tempo \(\left[ {{t_1},\;{t_2}} \right]\), a área abaixo do gráfico da nova função \(v\) e o eixo horizontal é dada por:\[\begin{array}{*{20}{l}}{{A_{\left[ {ABCD} \right]}}}& = &{\frac{{\overline {AD} + \overline {BC} }}{2} \times \overline {AB} }\\{}& = &{\frac{{{v_1} + {v_2}}}{2} \times \left( {{t_2} – {t_1}} \right)}\\{}& = &{{v_m} \times \left( {{t_2} – {t_1}} \right)}\end{array}\]onde \({v_m} = \frac{{{v_1} + {v_2}}}{2}\) é a velocidade média do objeto no intervalo \(\left[ {{t_1},\;{t_2}} \right]\).
Ora, a área do trapézio [ABCD] é igual à área do retângulo [ABEF] (selecione “Mostrar velocidade média”) se e só se os triângulos [DFM] e [CEM] forem congruentes, o que implica que M seja o ponto médio do segmento de reta [CD].
Assim, terá de ser \(M\left( {\frac{{{t_1} + {t_2}}}{2},\;\frac{{{v_1} + {v_2}}}{2}} \right)\) e, portanto, conclui-se que \(\frac{{{v_1} + {v_2}}}{2} = {v_c} = {v_m}\), o que comprova o “Teorema de Merton”.
Desafio 2
Em Duas Novas Ciências, afirma Galileu: “…tanto quanto se saiba ainda ninguém tinha verificado que as distâncias percorridas por um corpo em queda a partir do repouso, em intervalos de tempo iguais, apresentam, umas para as outras, os mesmos quocientes que os números ímpares começando na unidade (ou seja, 1: 3: 5: 7…) …”.
A área abaixo do gráfico da velocidade em função do tempo representa a distância percorrida durante um dado intervalo de tempo. Utilizando esse facto, prove que as distâncias de queda de um objeto, em sucessivos intervalos de tempo, estão entre si como os quocientes dos números ímpares.
Resolução
De acordo com o que foi visto na resolução do Desafio 1, a distância, \(d\), percorrida pelo corpo, em queda a partir do repouso, no intervalo de tempo \(\left[ {0,\;{t_1}} \right]\) pode ser expressa pela área do triângulo retângulo [OAA’]:\[d = {A_{\left[ {OAA’} \right]}} = \frac{{{v_1} – 0}}{2} \times {t_1} = \frac{{{v_1}}}{2} \times {t_1}\]
Nos intervalos subsequentes, assinalados na representação gráfica, as distâncias percorridas em cada um deles pode também ser expressa pela área dos correspondentes trapézios retângulos:\[\begin{array}{*{20}{l}}{{d_{\left[ {{t_1},\;2{t_1}} \right]}} = {A_{\left[ {ABB’A’} \right]}} = \frac{{2{v_1} + {v_1}}}{2} \times \left( {2{t_1} – {t_1}} \right) = 3 \times \frac{{{v_1}}}{2} \times {t_1} = 3d}\\{{d_{\left[ {2{t_1},\;3{t_1}} \right]}} = {A_{\left[ {BCC’B’} \right]}} = \frac{{3{v_1} + 2{v_1}}}{2} \times \left( {3{t_1} – 2{t_1}} \right) = 5 \times \frac{{{v_1}}}{2} \times {t_1} = 5d}\\{{d_{\left[ {3{t_1},\;4{t_1}} \right]}} = {A_{\left[ {CDD’C’} \right]}} = \frac{{4{v_1} + 3{v_1}}}{2} \times \left( {4{t_1} – 3{t_1}} \right) = 7 \times \frac{{{v_1}}}{2} \times {t_1} = 7d}\end{array}\]
Desprezando a ação do ar, um objeto em queda livre, a partir do repouso, apresenta deslocamentos escalares sucessivos (em intervalos de tempo iguais) diretamente proporcionais aos números ímpares.
Generalizando, para o intervalo \(\left[ {\left( {n – 1} \right){t_1},\;n{t_1}} \right]\), com \(n \in \mathbb{N}\), temos:
\[{d_{\left[ {\left( {n – 1} \right){t_1},\;n{t_1}} \right]}} = \frac{{n{v_1} + \left( {n – 1} \right){v_1}}}{2} \times \left( {n{t_1} – \left( {n – 1} \right){t_1}} \right) = \left( {2n – 1} \right) \times \frac{{{v_1}}}{2} \times {t_1} = \left( {2n – 1} \right)d\]
Em síntese, temos:
\[\begin{array}{*{20}{c}}{Intervalo\;de\;tempo}&{Distância\;percorrida}\\\hline{\left[ {0,\;{t_1}} \right]}&d\\{\left[ {{t_1},\;2{t_1}} \right]}&{3d}\\{\left[ {2{t_1},\;3{t_1}} \right]}&{5d}\\{\left[ {3{t_1},\;4{t_1}} \right]}&{7d}\\ \ldots & \ldots \\{\left[ {\left( {n – 1} \right){t_1},\;n{t_1}} \right]}&{\left( {2n – 1} \right)d}\end{array}\]
Assim, tal como a figura sugere (atente na decomposição dos trapézios em trângulos retângulos congruentes [com área \(d\)]), conclui-se:
…as distâncias percorridas por um corpo em queda a partir do repouso, em intervalos de tempo iguais, apresentam, umas para as outras, os mesmos quocientes que os números ímpares começando na unidade (ou seja, 1: 3: 5: 7…) …
Desafio 3
Mostre que a expressão \({v_{méd}} = \frac{{{v_{inicial}} + {v_{final}}}}{2}\) é equivalente à “Regra de Merton”.
Resolução
A distância percorrida por um objeto durante um certo tempo, durante o qual a sua velocidade varia uniformemente, é igual à distância que o mesmo objeto percorreria se estivesse animado com velocidade uniforme de valor igual à velocidade média durante esse tempo.
Consideremos a representação gráfica apresentada na figura à direita, relativa ao movimento de um objeto animado com velocidade constante \({v_c}\) e de outro animado com velocidade que cresce uniformemente ao longo do tempo, os quais percorrem a mesma distância no intervalo \(\left[ {{t_1},\;{t_2}} \right]\).
De acordo com o que já foi apurado na resolução do Desafio 1, no intervalo de tempo \(\left[ {{t_1},\;{t_2}} \right]\), a distância percorrida pelo objeto animado com velocidade constante \({v_c}\) é expressa por \[d = {A_{\left[ {ABEF} \right]}} = {v_c} \times \left( {{t_2} – {t_1}} \right)\]
No no mesmo intervalo de tempo \(\left[ {{t_1},\;{t_2}} \right]\), o objeto animado com velocidade que cresce uniformemente ao longo do tempo pode ser expressa por \[\begin{array}{*{20}{l}}{d = {A_{\left[ {ABCD} \right]}}}& = &{\frac{{\overline {AD} + \overline {BC} }}{2} \times \overline {AB} }\\{}& = &{\frac{{{v_1} + {v_2}}}{2} \times \left( {{t_2} – {t_1}} \right)}\end{array}\]
Das duas igualdades anteriores, resulta:\[\frac{{{v_1} + {v_2}}}{2} = {v_c}\]
Ora, \({{v_1}}\) e \({{v_2}}\) são, respetivamente, a velocidade inicial e a velocidade final, no intervalo considerado, do objeto animado com velocidade que cresce uniformemente ao longo do tempo.
Assim, conclui-se:\[\frac{{{v_{inicial}} + {v_{final}}}}{2} = {v_c} = {v_{média}}\]
O que é equivalente ao “Teorema de Merton”.
Desafio 4
Para qualquer quantidade que varie uniformemente, o valor médio é igual a metade da soma do seu valor inicial com o seu valor final. Verifique esta expressão relativamente a qualquer grandeza – por exemplo:
- Qual é a idade média de um grupo de pessoas que têm, cada uma, as idades de 15, 16, 17, 18 e 19 anos?
- Qual é o salário médio de uma pessoa, ao longo de cinco anos, se aquele crescer constantemente desde 50000 € por ano, no início, até 90000 € por ano, no fim?
Demonstre esta propriedade usando o conceito de progressão aritmética.
Tenha em consideração que a soma dos primeiros \(n\) termos de uma progressão aritmética \(\left( {{u_n}} \right)\) é dada por \({S_n} = \frac{{{u_1} + {u_n}}}{2} \times n\).
Resolução
A idade média do grupo de pessoas é \(\overline x = \frac{{15 + 16 + 17 + 18 + 19}}{5} = \frac{{85}}{5} = 17\) anos.
A quantidade em causa varia uniformemente: \[\begin{array}{*{20}{c}}{15}&{\underbrace \to _{ + 1}}&{16}&{\underbrace \to _{ + 1}}&{17}&{\underbrace \to _{ + 1}}&{18}&{\underbrace \to _{ + 1}}&{19}\end{array}\]
Usando a expressão, vem \(\overline x = \frac{{15 + 19}}{2} = 17\) anos.
O salário médio é \(\overline x = \frac{{50000 + 60000 + 7000 + 80000 + 90000}}{5} = \frac{{350000}}{5} = 70000\) euros por ano.
A quantidade em causa varia uniformemente: \[\begin{array}{*{20}{c}}{50000}&{\underbrace \to _{ + 10000}}&{60000}&{\underbrace \to _{ + 10000}}&{70000}&{\underbrace \to _{ + 10000}}&{80000}&{\underbrace \to _{ + 10000}}&{90000}\end{array}\].
Usando a expressão, vem \(\overline x = \frac{{50000 + 90000}}{2} = 70000\) euros por ano.
Se uma quantidade varia uniformemente, então os seus valores (ordenados) definem uma sequência constituída pelos \(n\) primeiros termos de uma progressão aritmética.
Seja \({x_1},\;{x_2},\;{x_3},\; \ldots ,\;{x_n}\) essa sequência dos \(n\) primeiros termos de uma dada progressão aritmética.
Assim, a média desses \(n\) valores é:\[\overline x = \frac{{{S_n}}}{n} = \frac{{\frac{{{x_1} + {x_n}}}{2} \times n}}{n} = \frac{{{x_1} + {x_n}}}{2} = \frac{{{x_{inicial}} + {x_{final}}}}{2}\]
Desafio 5
John Paul Stapp pilota o trenó a foguete na Base Aérea Edwards
Numa experiência realizada no Centro de Desenvolvimento da Base Aérea de Holloman, em Alamogordo, Novo México, em 19 de março de 1954, o Tenente-coronel John Paul Stapp, instalado a bordo de um trenó munido de um motor a jacto, alcançou a velocidade de 632 milhas/hora (283 m/s). Correndo sobre carris e impulsionado por nove foguetes, o trenó atingiu a sua velocidade máxima em 5 segundos. Stapp resistiu em seguida a uma aceleração máxima de 22 g, ao abrandar o seu movimento até ao repouso num intervalo de tempo de 1,5 segundos (1 g é uma aceleração igual em intensidade à que é devida à gravidade; 22 g significa, portanto, uma aceleração de \(22 \times {a_g}\)).
- Calcule a aceleração média durante a primeira parte do percurso, isto é, aquela que se estende desde o repouso até ao atingir da velocidade máxima.
- Qual a distância percorrida pelo trenó, antes de atingir a sua velocidade máxima?
- Determine a aceleração média durante a travagem.
Resolução
A aceleração média durante a primeira parte do percurso é \({a_{(I)méd}} = \frac{{\Delta v}}{{\Delta t}} = \frac{{283 – 0}}{{5 – 0}} = 56,6\;m/{s^2}\).
Até atingir a sua velocidade máxima, o trenó percorreu uma distância de \(\Delta d = {v_{méd}} \times \Delta t = \frac{{283 – 0}}{2} \times \left( {5 – 0} \right) = 707,5\;m\).
(ou \(\Delta d = \frac{1}{2}{a_{(I)méd}} \times {\left( {\Delta t} \right)^2} = \frac{1}{2} \times 56,6 \times {\left( {5 – 0} \right)^2} = 707,5\;m\))
Durante a travagem, a aceleração média foi de \({a_{(II)méd}} = \frac{{\Delta v}}{{\Delta t}} = \frac{{0 – 283}}{{1,5}} \approx – 188,7\;m/{s^2}\).
Desafio 6
(Esquerda) Aspecto geral do aparelho experimental. (Direita) Aparelho de medida do tempo.
| Distância (pés) (1 pé = 30,5 cm) |
Tempo (medido em mililitros de água) |
\(\frac{d}{{{t^2}}}\) |
| 15 | 90 | 0,00185 |
| 13 | 84 | 0,00184 |
| 10 | 72 | 0,00193 |
| 7 | 62 | 0,00182 |
| 5 | 52 | 0,00185 |
| 3 | 40 | 0,00188 |
| 1 | 23,5 | 0,00181 |
A tabela regista os resultados de uma repetição da experiência de Galileu, na qual o ângulo de inclinação era de \(3,73^\circ \) (Thomas B. Settle, volume 133 da revista Science, págs. 19-23, 6 de janeiro de 1961). Nessa experiência foi utilizado um “relógio de água”, com reservatório mantido a nível constante.
Será que estes resultados comprovam realmente a conclusão de Galileu, de que \(\frac{d}{{{t^2}}}\) é constante?
Resolução
Os quocientes \(\frac{d}{{{t^2}}}\) foram acrescentados à tabela.
Ao verificar a sua hipótese de que o movimento de queda livre é uniformemente acelerado, Galileu admitiu a suposição não provada de que os resultados para pequenos ângulos podem ser extrapolados para os grandes ângulos e que a aceleração da esfera é constante se a aceleração na queda livre o for, embora o valor das duas constantes não seja o mesmo.
Por isso, para os seus propósitos, era suficiente provar a hipótese de que a aceleração é constante para qualquer corpo, rolando ou caindo. Esta é a primeira consequência do trabalho de Galileu que, de forma apenas particular, é verificado pelos resultados parcelares desta experiência, bem como por os de todas as experiências bem-sucedidas já efetuadas.
Mais relevante do que a elevada constância dos resultados de experiências feitas, quer se Galileu realizou ou não a experiência que descreveu, é o método novo introduzido por si, tão importante para a investigação científica e que tem permanecido devido à sua eficácia na maioria dos casos em que é empregue.
Apresenta-se seguidamente a conclusão de Thomas B. Settle a propósito da sua repetição da experiência de Galileu, descrita no artigo “An Experiment in the History of Science – With a simple but ingenius device Galileo could obtain relatively precise time measurements”, publicado no volume 133 da revista Science, págs. 19-23, 6 de janeiro de 1961.
Tentei enfatizar a simplicidade e a facilidade com que estes resultados foram obtidos. O único esforço prolongado colocado no equipamento foi em relação ao plano, e apenas aos limites já mencionados. E, exceto no esforço desenvolvido na minha própria coordenação ouvido mão, mantive uma atitude deliberadamente arrogante para com os procedimentos e medidas. Por exemplo: o bloco de paragem e a posição inicial foram localizados nas marcas da rampa apenas a olho; a leitura da altura vertical não foi feita tão finamente quanto o tempo e a paciência teriam permitido; e, estou certo, a medida do tempo não foi levada a um tão elevado refinamento, quanto um vaso maior, um tubo menor e uma “balança” mais precisa teriam permitido. Mas sem conhecimento mais preciso das ferramentas de Galileu do que o mencionado na passagem citada, procurei que houvessem hipóteses razoáveis para a acumulação de “erros e inexatidões”. E ainda assim, tal não aconteceu.
Mas como? Quando referi que Galileu trabalhou com duas incógnitas, disse-o de um ponto de vista lógico. No momento em que a teoria e a experiência tinham evoluído para o nível implícito no Discurso, Galileu teria tido confiança suficiente no valor independente de cada uma, independentemente da sua confirmação mútua. O facto de terem coincidido tão bem acrescentou mais uma entrada à lista dessas ciências em que a demonstração matemática se adequa aos fenómenos físicos. Contudo, na altura não foi tão simples quanto agora parece. A ciência apenas poderia crescer sobre os ossos de um dos preconceitos mais profundos da Idade Média, que considerava todos os daqui de baixo como corruptos e com uma carência inata da perfeição, matemática ou não, do mundo real. Algures na outra grande obra de Galileu, o Diálogo, Simplício é levado a expressar esta opinião, dizendo: “Na ciência física não há motivo para procurar precisão matemática de provas”. Ao chegar a esta excelente aproximação à perfeição no mundo físico, Galileu deu um passo longo e importante nesta fase inicial da ciência experimental.
Apresenta-se ainda a crítica de A. C. Higgins (Associate Professor (Emeritus), Sociology of Science, University at Albany) ao artigo de Thomas B. Settle.
Este artigo procura determinar, em definitivo, se Galileu efetivamente realizou as experiências que alegou ter feito para “provar” a sua lei da aceleração uniforme. Galileu afirmou que havia demonstrado a precisão da sua lei através do uso de um plano inclinado, no qual lhe seria possível mostrar que a distância é uma função do tempo. Settle está interessado em mostrar que Galileu poderia, de facto, tê-lo demonstrado: considera que Galileu foi um homem honesto. Settle foca-se no seguinte: “(estas medidas)… pesam bastante, assumindo uma importância basilar, para qualquer avaliação adequada do estatuto lógico-científico da exposição do movimento naturalmente acelerado de Galileu, a sua verdadeira contribuição para a ciência, ou os seus pontos de vista sobre a natureza da ciência e a necessidade da experiência.” Em qualquer caso, o autor reconstrói o aparelho que Galileu havia construído e, sem grandes surpresas, obtém resultados dentro dos “limites de precisão.”
Settle procura apenas mostrar que era possível tudo ter acontecido como Galileu afirmara. Contudo, não pode provar se Galileu realizou, de facto, a experiência. Galileu chegou à sua equação sem qualquer tipo de demonstração, tendo-a promovido durante anos porque estava absolutamente convencido da sua veracidade. Não precisava de qualquer demonstração para saber que estava certo. Será que Galileu realmente fez a experiência? Essencialmente, isso não tem grande importância. Considere os comentários de I. Bernard Cohen sobre a mesma experiência (em “Galileu”, em Lives In Science – A Scientific American Book (p. 14)): “Galileu descobriu que os tempos estavam de acordo com a lei, sem diferenças que ‘valessem a pena mencionar.’ A conclusão de que não ‘valeria a pena mencionar’ as diferenças demonstra a firmeza com que havia estabelecido, de antemão, a sua solução, já que as condições inadequadas da sua experiência nunca produziriam uma lei exata. Na verdade, as discrepâncias eram tão grandes que um correspondente contemporâneo, Père Mersenne, não conseguiu reproduzir os resultados descritos por Galileu, tendo duvidado se ele teria sequer realizado a experiência.”
