Uma circunferência e dois triângulos

by AMMA · Published 4 de Fevereiro de 2018 · Updated 17 de Janeiro de 2022

Enunciado

Na figura, estão representados uma circunferência de centro no ponto O e os triângulos [ABC] e [CDE].

Sabe-se que:

A figura não está desenhada à escala.

Admite que a amplitude do ângulo ACB é igual a 36 graus.
Qual é a amplitude do arco AB?
Admite que \(\frac{{\overline {CD} }}{{\overline {BC} }} = 0,5\).
Qual é o valor do quociente \(\frac{{{\rm{Área}}\;{\rm{do}}\;{\rm{triâ ngulo}}\;\left[ {CDE} \right]}}{{{\rm{Á rea}}\;{\rm{do}}\;{\rm{triâ ngulo}}\;\left[ {ABC} \right]}}\)?
Admite que \(\overline {AB} = 6\) cm e \(\overline {AC} = 10\) cm.
Determina a área do círculo de diâmetro [BC].
Apresenta o resultado em cm², arredondado às unidades. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Resolução

A amplitude de um ângulo inscrito é igual a metade da amplitude do arco compreendido entr os seus lados.
Logo, \(\overparen{AB} = 2 \times A\widehat CB = 2 \times 36^\circ = 72^\circ \).
Como a razão de semelhança do triângulo [ABC] para o triângulo [CDE] é \(r = \frac{{\overline {CD} }}{{\overline {BC} }} = \frac{1}{2}\), então \(\frac{{{\rm{Área}}\;{\rm{do}}\;{\rm{triâ ngulo}}\;\left[ {CDE} \right]}}{{{\rm{Á rea}}\;{\rm{do}}\;{\rm{triâ ngulo}}\;\left[ {ABC} \right]}} = {r^2} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{4}\).
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo (Porquê?) [ABC], vem: \(\overline {BC} = \sqrt {{6^2} + {{10}^2}} = \sqrt {136} = 2\sqrt {34} \) cm.
Logo, \({A_\bigcirc } = \pi \times {\left( {\sqrt {34} } \right)^2} = 34\pi \approx 107\) cm².