Determina o perímetro e a área dos trapézios

a)

O perímetro do trapézio é $P=16+5+10+5=36\,cm$.

Como o trapézio é isósceles, então os triângulos [ADE] e [BCF] são geometricamente iguais.
Logo, \[\overline{AE}=\overline{BF}=\frac{\overline{AB}-\overline{CD}}{2}=\frac{16-10}{2}=3\,cm\]

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo [ADE], temos ${{\overline{AE}}^{2}}+{{\overline{ED}}^{2}}={{\overline{AD}}^{2}}$.
Logo:  \[\begin{array}{*{35}{l}}
{{3}^{2}}+{{\overline{ED}}^{2}}={{5}^{2}} & \Leftrightarrow  & {{\overline{ED}}^{2}}={{5}^{2}}-{{3}^{2}}  \\
{} & \Leftrightarrow  & {{\overline{ED}}^{2}}=25-9  \\
{} & \Leftrightarrow  & {{\overline{ED}}^{2}}=16  \\
{} & \Leftrightarrow  & \overline{ED}=4  \\
\end{array}\]

Portanto, a área do trapézio é \[A=\frac{16+10}{2}\times 4=52\,c{{m}^{2}}\]
­

b)

Como o trapézio é isósceles, então os triângulos [ADE] e [BCF] são geometricamente iguais.
Logo, \[\overline{AE}=\overline{BF}=\frac{\overline{AB}-\overline{CD}}{2}=\frac{40,5-20,5}{2}=10\,cm\]

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo [AED], temos ${{\overline{AE}}^{2}}+{{\overline{ED}}^{2}}={{\overline{AD}}^{2}}$.
Logo: \[\begin{array}{*{35}{l}}
{{10}^{2}}+{{14}^{2}}={{\overline{AD}}^{2}} & \Leftrightarrow  & {{\overline{AD}}^{2}}={{10}^{2}}+{{14}^{2}}  \\
{} & \Leftrightarrow  & {{\overline{AD}}^{2}}=100+196  \\
{} & \Leftrightarrow  & \overline{AD}=\sqrt{296}  \\
\end{array}\]

Como $\overline{AD}=\sqrt{296}\simeq 17,2\,cm$, os valores do perímetro (aproximado) e da área do trapézio são:

\[P=40,5+17,2+20,5+17,2=95,4\,cm\]

\[A=\frac{40,5+20,5}{2}\times 14=427\,c{{m}^{2}}\]
­

c)

Como $\overline{BE}=\overline{AB}-\overline{CD}=42-18=24\,cm$, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo [BCE], temos: ${{\overline{CE}}^{2}}+{{\overline{EB}}^{2}}={{\overline{BC}}^{2}}$.
Logo: \[\begin{array}{*{35}{l}}
{{18}^{2}}+{{24}^{2}}={{\overline{BC}}^{2}} & \Leftrightarrow  & {{\overline{BC}}^{2}}={{18}^{2}}+{{24}^{2}}  \\
{} & \Leftrightarrow  & {{\overline{BC}}^{2}}=324+576  \\
{} & \Leftrightarrow  & \overline{BC}=\sqrt{900}  \\
{} & \Leftrightarrow  & \overline{BC}=30  \\
\end{array}\]

Os valores do perímetro e da área do trapézio são:

\[P=42+30+18+18=108\,cm\]

\[A=\frac{42+18}{2}\times 18=540\,c{{m}^{2}}\]