Considera um triângulo [ABC]
Lugares geométricos: Matematicamente Falando 9 - Parte 1 Pág. 101 Ex. 4
Enunciado
Considera um triângulo [ABC].
- Constrói a mediana relativa ao lado [AB], designando o ponto médio de [AB] por D.
- Justifica que os triângulos [BCD] e [ACD] têm a mesma área.
- Constrói o baricentro do triângulo [ABC] e designa-o por G.
- Justifica que os seis triângulos de vértice comum G determinados pelas três medianas de [ABC] têm a mesma área.
Resolução
Na figura ao lado, está construída a mediana relativa ao lado [AB].
- Considere-se a altura do triângulo [ABC] relativa ao lado [AB].
Ora, \({A_{\left[ {ACD} \right]}} = \frac{{\overline {AD} \times {h_3}}}{2}\) e \({A_{\left[ {BCD} \right]}} = \frac{{\overline {BD} \times {h_3}}}{2}\).
Como D é o ponto médio do lado [AB], então \(\overline {AD} = \overline {BD} = \frac{{\overline {AB} }}{2}\).
Consequentemente, os triângulos [ACD] e [BCD] têm a mesma área, pois tem-se:
\[{A_{\left[ {ACD} \right]}} = \frac{{\overline {AB} \times {h_3}}}{4} = {A_{\left[ {BCD} \right]}}\] 
Foram construídas as duas restantes medianas, bem como o baricentro do triângulo [ABC].
- Na figura ao lado, considerem-se os seis triângulos em que o triângulo [ABC] foi dividido pelas suas três medianas.
Já vimos, na alínea b., que a mediana relativa ao lado [AB] divide o triângulo [ABC] em dois triângulos, [ACD] e [BCD], de igual área.
O mesmo se passa com as duas outras medianas do triângulo [ABC], dividindo cada uma delas este triângulo em dois com igual área entre si.
Sintetizando estas relações em termos das áreas dos seis triângulos representados na figura ao lado, temos:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{A_1} + {A_5} + {A_6} = {A_2} + {A_3} + {A_4}}\\{{A_1} + {A_2} + {A_6} = {A_3} + {A_4} + {A_5}}\\{{A_1} + {A_2} + {A_3} = {A_4} + {A_5} + {A_6}}\end{array}} \right.\]
Por outro lado, reparemos que os triângulos [ADG] e [BDG] têm igual área entre si, pois têm iguais bases ([AD] e [BD]) e iguais alturas (h’3). Igual relação existe entre cada par dos restantes quatro triângulos em que está decomposto o triângulo [ABC].
Sintetizando também estas relações em termos das áreas dos seis triângulos representados na figura ao lado, temos:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{A_1} = {A_2}}\\{{A_3} = {A_4}}\\{{A_5} = {A_6}}\end{array}} \right.\]
Conjugando os dois sistemas de equações, vem:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{A_1} + {A_5} + {A_6} = {A_2} + {A_3} + {A_4}}\\{{A_1} + {A_2} + {A_6} = {A_3} + {A_4} + {A_5}}\\{{A_1} + {A_2} + {A_3} = {A_4} + {A_5} + {A_6}}\\{{A_1} = {A_2}}\\{{A_3} = {A_4}}\\{{A_5} = {A_6}}\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{A_1} + {A_5} + {A_5} = {A_1} + {A_3} + {A_3}}\\{{A_1} + {A_1} + {A_5} = {A_3} + {A_3} + {A_5}}\\{{A_1} + {A_1} + {A_3} = {A_3} + {A_5} + {A_5}}\\{{A_1} = {A_2}}\\{{A_3} = {A_4}}\\{{A_5} = {A_6}}\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{A_5} = {A_3}}\\{{A_1} = {A_3}}\\{{A_1} = {A_5}}\\{{A_1} = {A_2}}\\{{A_3} = {A_4}}\\{{A_5} = {A_6}}\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow \\{}& \Leftrightarrow &{{A_1} = {A_2} = {A_3} = {A_4} = {A_5} = {A_6}}&{}&{}&{}\end{array}\]
Portanto, os seis triângulos de vértice comum G determinados pelas três medianas de [ABC] têm a mesma área.
