Averigue se a sucessão é um infinitamente grande

Considere a seguinte afirmação:

“A sucessão de termo geral ${c_n} = {\left( { – 1} \right)^n}{n^3}$ é um infinitamente grande.”

Averigue se esta afirmação é verdadeira ou falsa.

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A sucessão $\left( {{c_n}} \right)$ é um infinitamente grande se e só se $\left( {\left| {{c_n}} \right|} \right)$ for um infinitamente grande positivo.

Seja $M \in {\mathbb{R}^ + }$.

Ora,
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{\left| {{c_n}} \right| > M}& \Leftrightarrow &{\left| {{{\left( { – 1} \right)}^n}{n^3}} \right| > M} \\
{}& \Leftrightarrow &{{n^3} > M} \\
{}& \Leftrightarrow &{n > \sqrt[3]{M}}
\end{array}\]

Conclui-se que $\forall M \in {\mathbb{R}^ + },\,\,\exists p \in \mathbb{N}:\,\,n > p \Rightarrow \left| {{c_n}} \right| > M$.

Logo, a sucessão $\left( {\left| {{c_n}} \right|} \right)$ é um infinitamente grande positivo e, consequentemente, $\left( {{c_n}} \right)$ é um infinitamente grande.

Portanto, a afirmação é verdadeira.