Um jardim junto a um lago

Funções e gráficos: Matemática A 10.º - Parte 2 - Pág. 29 Ex. 1

by AMMA · Published 19 de Fevereiro de 2013 · Updated 14 de Janeiro de 2022

Enunciado

Pretende-se construir um jardim junto a um lago, conforme a figura ilustra.

Três lados do jardim confinam com o lago e os outros três ficam definidos por uma rede. Pretende-se que os lados consecutivos do jardim sejam sempre perpendiculares.

As dimensões indicadas na figura estão expressas em metros. Tal como a figura mostra, $x$ é a medida em metros de um dos lados do jardim.

Vão ser utilizados, na sua totalidade, $100$ metros de rede.

Mostre que a área, em m², do jardim, é dada, em função de $x$, por $a\left( x \right) = – 2{x^2} + 40x + 1400$.
Recorrendo à calculadora gráfica, determine o valor de $x$ para o qual é máxima a área do jardim e determine essa área máxima.

Resolução

De acordo com elementos assinalados na figura e tendo em conta que, na sua totalidade, vão ser utilizados $100$ metros de rede, temos:
$$\begin{array}{*{20}{l}}
{x + y + 10 + x + 20 = 100}& \Leftrightarrow &{y = 70 – 2x}
\end{array}$$
Decompondo o jardim em dois retângulos, a sua área pode ser expressa por:
$${A_{Jar\dim }} = x\left( {y + 10} \right) + 20y$$
Como ${y = 70 – 2x}$, então a área, em m², do jardim é dada, em função de $x$, por:
$$\begin{array}{*{20}{l}}
{a\left( x \right)}& = &{x\left( {70 – 2x + 10} \right) + 20\left( {70 – 2x} \right)} \\
{}& = &{80x – 2{x^2} + 1400 – 40x} \\
{}& = &{ – 2{x^2} + 40x + 1400}
\end{array}$$

Como três lados são definidos pela rede, então $x > 0$.

Por outro lado, como outros três lados do jardim confinam com o lago, então $y > 0$, que equivale a $x < 35$.

Assim, no contexto do problema, temos: $x \in \left] {0,35} \right[$.


Depois de editar a expressão analítica da função, definiu-se uma janela de visualização adequada ao domínio do problema e exibiu-se o gráfico da função.

De seguida, com a ferramenta adequada procurou-se o máximo da função e o respetivo maximizante. É conveniente salientar que, por limitações da própria calculadora, nem sempre os valores indicados são exatos.