Questões sobre um cubo

Resolução de problemas de geometria: Matemática A 10.º - Parte 1 - Pág. 56 Ex. 1

by AMMA · Published 22 de Outubro de 2012 · Updated 20 de Janeiro de 2022

Enunciado

Cubo

Para responder às questões seguintes, utilize, para além do desenho de um cubo em perspetiva, um modelo que pode construir em cartão ou outro material (recorra ainda, como suporte de visualização, à observação do paralelepípedo em que se instala a sua sala de aula, se for o caso).

Indique planos aos quais pertença A e cite planos que contenham a reta AB. Há vários planos que contêm A, B e C?
A face [ABGF] determina um plano.
Explique por que razão este plano também se pode designar por ABG. Refira outros modos de designar esse plano.
Os pontos E, H, A e B estão no mesmo plano? Qual a natureza do quadrilátero [EHBA]?
Qual é a intersecção do plano BGE com o plano ABD?
Qual é a intersecção do plano ACG com as faces do cubo?
Indique um plano paralelo ao plano ABG.
Construa a intersecção dos planos ADG e CDE.
É verdade que os planos BDH e ABF têm somente o ponto B em comum? Justifique.
Indique retas paralelas a DE e retas paralelas a CE.
As retas BD e EH são paralelas? São concorrentes? E as retas CF e EG?

Resolução

Cubo

Indique planos aos quais pertença A e cite planos que contenham a reta AB. Há vários planos que contêm A, B e C?

O ponto A pertence aos planos: ABG, ABC, ADE, ACH, ADH e ABH.
A reta AB está contida nos planos: ABG, ABC e ABH.
Não, há apenas um plano – o plano ABC – que contém os pontos A, B C, pois estes três pontos são distintos e não colineares (por isso definem um e um só plano).
A face [ABGF] determina um plano. Explique por que razão este plano também se pode designar por ABG. Refira outros modos de designar esse plano.
Os quatro pontos, A, B, G e F, são distintos e não colineares três a três. Portanto, associando esses quatro pontos três a três, temos quatro formas distintas de definir esse plano: ABG, ABF, AFG e BFG.
Os pontos E, H, A e B estão no mesmo plano? Qual a natureza do quadrilátero [EHBA]?
Sim, esses pontos pertencem ao plano ABH.
O quadrilátero [EHBA] é um retângulo.
Qual é a intersecção do plano BGE com o plano ABD?
A intersecção dos planos BGE e ABD é a reta BD.
Qual é a intersecção do plano ACG com as faces do cubo?
A intersecção do plano ACG com as faces do cubo são os segmentos de reta [AC], [CG] e [AG].
Indique um plano paralelo ao plano ABG.
Um plano paralelo ao plano ABG é o plano CDE.
Construa a intersecção dos planos ADG e CDE. É verdade que os planos BDH e ABF têm somente o ponto B em comum? Justifique.
A intersecção dos planos ADG e CDE é a reta DH.
Não, têm uma infinidade de pontos em comum: a reta paralela a DH e que contém o ponto B (tenha presente que um plano intersecta planos paralelos segundo retas paralelas; por outro lado, dois planos intersectam-se sempre segundo uma reta).
Indique retas paralelas a DE e retas paralelas a CE. As retas BD e EH são paralelas? São concorrentes? E as retas CF e EG?
São retas paralelas a DE: AF, BG e CH.
Uma reta paralela a CE é a reta BF.
As retas BD e EH não são paralelas nem concorrentes, pois são retas não complanares.
As retas CF e EG são também não são complanares, por isso não são paralelas nem concorrentes.