Dois cones com a mesma base
Do espaço ao plano: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 117 Ex. 5
Na figura estão representados dois cones com a mesma base.
[ABCD] é um losango de 36 cm2 de área e cuja diagonal menor mede metade da diagonal maior.
- Determina a medida das diagonais do losango.
- Determina o volume do sólido.
Consideremos o losango [ABCD] inscrito num retângulo, cujos pontos médios dos lados são os vértices do losango.
As diagonais e os lados do losango dividem o retângulo em 8 triângulos retângulos geometricamente iguais (Porquê).
Conclui-se, por isso, que a área do losango é metade da área do retângulo, isto é:
${{A}_{L}}=\frac{1}{2}\times {{A}_{R}}=\frac{D\times d}{2}$.
- Designando o comprimento da diagonal menor por d, então o comprimento da diagonal maior pode ser expressa por 2d.
Substituindo na igualdade acima, obtém-se: $36=\frac{2d\times d}{2}$.
Resolvendo a equação, vem: $36=\frac{2d\times d}{2}\Leftrightarrow {{d}^{2}}=36\Leftrightarrow d=6$.
Logo, $\overline{AC}=6\,cm$ e $\overline{BD}=12\,cm$.
- O volume de um dos cones é ${{V}_{C}}=\frac{1}{3}\times \pi \times {{3}^{2}}\times 6=18\pi \,c{{m}^{3}}$.
Logo, o volume do sólido é ${{V}_{S}}=2\times {{V}_{C}}=2\times 18\pi =36\pi \,c{{m}^{3}}$.