Das raparigas que moram em Vale do Rei
Probabilidade condicionada e acontecimentos independentes
- Seja S o espaço de resultados associado a uma experiência aleatória.
Sejam A e B dois acontecimentos ($A\subset S$ e $B\subset S$).Prove que: $P(\overline{A}\cap \overline{B})=P(\overline{A})-P(B)+P(A|B)\times P(B)$.
- Das raparigas que moram em Vale do Rei, sabe-se que:
– a quarta parte tem olhos verdes;
– a terça parte tem cabelo louro;
– das que têm cabelo louro, metade tem olhos verdes.Escolhendo aleatoriamente uma rapariga de Vale do Rei, qual é a probabilidade de ela não ser loura nem ter os olhos verdes?
Sugestão: se lhe for útil, pode utilizar a igualdade enunciada na alínea anterior para resolver o problema.
- Aplicando propriedades das operações entre conjuntos e das probabilidades, temos: \[\begin{array}{*{35}{l}}
P(\overline{A}\cap \overline{B}) & = & P(\overline{A\cup B}) \\
{} & = & 1-P(A\cup B) \\
{} & = & 1-P(A)-P(B)+P(A\cap B) \\
{} & = & P(\overline{A})-P(B)+P(A|B)\times P(B) \\
\end{array}\]
- Sendo A: “A rapariga tem olhos verdes” e B: “A rapariga é loura”, a probabilidade pedida é $P(\overline{A}\cap \overline{B})$.
Sabe-se que:
– a quarta parte tem olhos verdes; → $P(A)=\frac{1}{4}$
– a terça parte tem cabelo louro; → $P(B)=\frac{1}{3}$
– das que têm cabelo louro, metade tem olhos verdes. → $P(A|B)=\frac{1}{2}$Utilizando a igualdade da alínea anterior, temos: \[\begin{array}{*{35}{l}}
P(\overline{A}\cap \overline{B}) & = & (1-\frac{1}{4})-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\times \frac{1}{3} \\
{} & = & \frac{3}{4}-\frac{1}{3}+\frac{1}{6} \\
{} & = & \frac{9-4+2}{12} \\
{} & = & \frac{7}{12} \\
\end{array}\]Portanto, a probabilidade de, escolhendo aleatoriamente uma rapariga de Vale do Rei, ela não ser loura nem ter os olhos verdes é $\frac{7}{12}$.
![Observa o retângulo [ABCD] da figura](https://www.acasinhadamatematica.pt/wp-content/uploads/2017/10/9V1Pag035-5_520x245.png)
