A janela

Observa o seguinte esquema do gradeamento da janela.

Se o ferro para construir este tipo de gradeamento se vender em barras de 3 metros de comprimento, qual é o número mínimo de barras necessárias para construir o gradeamento desta janela?
Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Comprimento total do gradeamento da janela, em metros:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{C_T}}& = &{8 \times 0,7 + 8 \times 0,2 + 2 \times 0,1 + 4 \times 0,35 + 2 \times \sqrt {{{0,7}^2} + {{0,7}^2}} }\\{}& = &{5,6 + 1,6 + 0,2 + 1,4 + 2\sqrt {0,49 + 0,49} }\\{}& = &{8,8 + 2 \times \sqrt {0,98} }\end{array}\]

Como \(\frac{{{C_T}}}{3} = \frac{{8,8 + 2 \times \sqrt {0,98} }}{3} \approx 3,59\), então são necessárias, no mínimo, quatro barras de 3 metros de comprimento para construir o gradeamento desta janela.

Cálculos mais detalhados

Comprimento total das seis peças verticais, de 70 cm de comprimento:

• \({C_V} = \overline {AL} + \overline {BK} + \overline {MJ} + \overline {NI} + \overline {EH} + \overline {FG} = 6 \times 0,7 = 4,2\) m

Comprimento total das duas bases de apoio no parapeito da janela:

• \({C_B} = \overline {CM} + \overline {DN} = 2 \times 0,1 = 0,2\) m

Comprimento total das duas peças horizontais mais exteriores:

• \({C_H} = \overline {LG} + \overline {AF} = 2 \times \left( {0,2 + 0,2 + 0,7 + 0,2 + 0,2} \right) = 3,0\) m

Comprimento da peça diagonal do quadrado grande:

• \({C_D} = \sqrt {{{\overline {CJ} }^2} + {{\overline {CD} }^2}} = \sqrt {{{0,7}^2} + {{0,7}^2}} = \sqrt {0,49 + 0,49} = \sqrt {0,98} \) m

Comprimento da peça do lado do quadrado pequeno (ver a nota seguinte):

• \({C_{LQP}} = \frac{{\overline {CD} }}{2} = \frac{{0,7}}{2} = 0,35\)

Nota:
Como os vértices do quadrado mais pequeno são os pontos médios das semidiagonais do quadrado maior, então os triângulos [MNS] e [ROS] são semelhantes, tendo-se: \(\frac{{\overline {RO} }}{{\overline {MN} }} = \frac{{\overline {RS} }}{{\overline {MS} }} = \frac{{\overline {OS} }}{{\overline {NS} }} = \frac{1}{2}\).